基于频域白光干涉法色散测量准确度研究

1　引     言

     色散是指光在介质中传播时，其传播速度随频率 变 化 的 现 象。其 中 群 延 迟 色 散（GDD），即 二 阶 色 散， 描述了光波包中不同频率成分的传播速度差异导致的 群延时随频率的变化特性［1］ 。作为重要的光学参数， 群延迟色散对飞秒激光技术、非线性光学、精密测量、 光纤通信等领域中的物理过程具有重要影响［2- 11］ 。因 此，精确测量材料与器件的群延迟色散对于推动相关 领域的技术发展至关重要。

       目前常用的色散测量方法有飞行时间法、调制相 移法和白光干涉法。飞行时间法通过测量不同波长成 分光的传播时间延迟来求得色散，该方法受光电探测 器和示波器的时间分辨率限制，在高精度测量方面有 一定的局限性。调制相移法通过对光源施加调制，并 通过比较样品前后调制信号的相位差来求得色散，但 该方法对调制的精度以及调制信号的稳定性都有很高 的要求。白光干涉法通过将宽带光源与标准迈克耳孙 或马赫- 曾德尔干涉仪相结合，并通过提取干涉光谱中 的相位信息反演色散特性，该方法具有测量范围广、精 度高和稳定性好等优点，在色散测量中得到了更广泛 的应用［12- 15］ 。白光干涉法主要分为时域干涉法和频域 干 涉 法［16- 18］ ，其 中 频 域 白 光 干 涉 法 能 够 在 单 次 测 量 中 提取干涉图像中每个采样点对应的相位信息，从而直接获得色散曲线，其优势在于系统结构简单且受机械 振动的影响较小［19］ 。

      近年来，国内外基于白光光谱干涉法的色散测量 系统研究取得显著进展，研究成果主要集中在系统测量 精度和准确度的提升方面。在测量精度方面：Gao等［20］ 采用卡尔曼滤波辅助白光干涉法，分别测量了保偏光 纤、载玻片和大色散啁啾光纤布拉格光栅的色散，测量 不确定度约为 0.1%；姚霁峰等［21］ 测量了自制小色散啁 啾 光 纤 光 栅 的 色 散，测 量 不 确 定 度 小 于±0.0028 ps2 。 在测量准确度方面，Qi 等［22］ 通过抑制背景光谱畸变的 方法测量了单模光纤的色散，相比于商业仿真软件结 果，最大误差为 400 fs2，结果验证了算法优化在提升准 确度方面的有效性。尽管这些研究通过改进数据处理 算法有效降低了随机误差，但对系统误差的根源分析 仍显不足。研究表明，光谱仪有限的分辨率导致的系 统误差与干涉条纹数量和间距密切相关［23］ 。因此，建 立与实际系统匹配的理论模型，明确关键参数对误差 的影响，并探索系统最小误差，显得尤为重要。

      本文针对该系统中光谱仪波长的采样间隔，建立 了理论模型并搭建了基于白光光谱干涉法的色散测量 装置，系统研究了时延和计算带宽对测量准确度的影 响。在模拟分析中，分别以理想高斯光谱和实际测量 光谱作为输入光源，计算色散测量结果与参考值的均 方根误差（RMSE），定量评估了带宽和时间延迟的影响，确定了最优时延范围和计算带宽。实验中，在不同 时 延 条 件 下 对 SF66 和 F2 标 准 光 学 玻 璃 的 色 散 进 行 测 量，并 在 不 同 带 宽 范 围 内 计 算 色 散 曲 线，实 验 得 到 的误差与模拟结果基本一致。基于优化方案得到：在 42 nm 光 谱 范 围 内，色 散 测 量 误 差 始 终 低 于 50 fs2，其 中 SF66 和 F2 的最小 RMSE 分别为 7 fs2 和 20 fs2 。

2　白光干涉信号分析

2.1　实验系统

      基于迈克耳孙干涉仪进行色散测量的实验装置如 图 1（a）所 示，图 中 HWP 为 半 波 片，HR 为 反 射 镜，BS 为分束器，COL 为光纤准直器。宽带光源采用的是光纤 放 大 自 发 辐 射（ASE）光 源（型 号：NKASE- 1030）， 光谱形状如图 1（b）所示，其中心波长为 1031 nm，10 dB 光谱带宽为 25 nm，输出功率为 100 mW。宽带光源发 出的光被分束器分为两束光，分别进入待测臂和参考 臂。在样品臂中插入待测样品。两束光干涉后，经保 偏 光 纤 耦 合 至 光 谱 仪（型 号：横 河 AQ6370B）以 获 取 干 涉 光 谱。该 光 谱 仪 在 0.02 nm 光 学 分 辨 率 下 具 有 0.004 nm 的采样分辨率，测量光谱范围设定为 1010~ 1110 nm，相当于 25001 个采样点。光路中设置半波片 用于调节光的偏振态，从而减小分束器对不同偏振态 光的反射率差异以及入射光光轴与保偏光纤光轴不匹 配所引入的系统误差。

     在实验过程中，系统稳定性受到环境噪声的影响。 由于环境中的机械振动频率通常处于 kHz 量级，而光 谱仪对干涉谱的扫描时间在亚秒级至秒级，因此振动 噪声会在积分过程中被平均，对测量结果的影响相对 较小。相比之下，温度漂移产生的低频噪声具有更长 的时间尺度，容易在扫描过程中引入干涉图的相位漂 移，进而影响相位提取和色散计算的准确度。因此，在 实验过程中，要注重对实验环境中温度的控制。

2.2　分析模型

     基于迈克耳孙干涉仪的工作原理，宽带光源的输 出光通过分束器被分为两个光路，则频域干涉谱可以 表示为

式中：k 为真空中的波数；IR ( k )为参考臂的光谱强度； a ( k )为样品臂相对于参考臂的背景光谱；V ( k )为条纹 可见度函数；ΔΦ ( k )为两臂之间的光谱相位差。

       为获取光谱的相位信息，本文首先采用包络线去 除法对干涉光谱进行归一化处理［24］ ：

式 中：Iupper ( k ) 和 Ilower ( k ) 分 别 代 表 干 涉 图 的 拟 合 上 包 络 和 下 包 络，如 图 2（a）所 示。式（2）本 质 上 是 将 干 涉 信号看作上下包络调制的余弦函数，其作用是提取干 涉光谱中的归一化调制分量，并去除由光源光谱形状 等因素引起的背景强度变化。实验系统中即使未插入 样品，也会存在背景干涉信号，该处理方法同时有效消 除了背景干涉项，使得最终保留下来的余弦项主要反 映 样 品 引 入 的 相 位 差 。 最 终 ，频 率 依 赖 的 GDD［用 GDS ( ω ) 表 示］可 通 过 相 位 关 于 角 频 率 ω 的 二 阶 导 数 计算：

2.3　数据处理方法

      首先，通过定位干涉谱的相干峰值点拟合上下包 络线。利用式（2）对干涉谱进行归一化处理，以消除低 频光强变化的影响。进行归一化后，通过希尔伯特变 换提取相位并进行解包裹操作，获得波数域的解包裹 相位。对所得相位数据进行三次多项式曲线拟合，再 对该多项式求取二阶导数，最终获取 GDD。

3　模拟与分析

      对于样品，理论上所引入的相位差可以表示为

式中：n 和 L 分别表示样品的折射率和厚度；lS 和 lR 分 别表示样品臂和参考臂的光程长度。

       在模拟中，假设相位差是由一块厚度为 10 mm 的 SF66 玻璃所产生，其折射率可以用 Sellmeier 公式近似 表示为

式中：B1、B2、B3、C1、C2和 C3为 SF66 玻璃的 Sellmeier 系 数，由生产厂商 Schott 公司提供［25］ ，B1=2.024597600， B2=0.470187196，B3=2.599704330，C1=0.014705323， C2=0.0692998276，C3=161.81760100。

       群折射率的计算公式为

       因 此 ，基 于 Sellmeier 方 程 推 导 出 的 参 考 色 散 GDR ( ω )为

式中：c 为真空中的光速。

      在计算模拟中，受光谱仪的采样间隔限制，数据处 理过程中需要进行离散化操作，而参考色散曲线是基 于 Sellmeier 方程获得的连续曲线，这可能导致计算模 拟结果与参考色散曲线之间存在偏差。为定量评估这 种偏差，本文将通过计算模拟或实验所得的干涉谱的 色散曲线与参考色散曲线进行对比，采用 RMSE 作为 评价指标，来表征整个色散测量系统的准确度：

式中：m 为数据点数。

      在模拟中，分别采用理想高斯光谱和实际测量光 谱作为输入光谱。为与实验条件一致，设定模拟中数 据 点 之 间 的 波 长 间 隔 为 0.004 nm，且令 a ( k )=0.25 和 V ( k )=1。首先，根据式（4）计算厚度为 10 mm 的标准 光学玻璃 SF66 引入的相位差，并将其代入式（1）生成 理想干涉光谱。基于该干涉谱，采用本文提出的信号 处理方法反向提取相位信息，对解包裹后的相位数据 ［图 2（b）］进 行 三 次 多 项 式 拟 合，计 算 出 GDD 值 并 最 终求得 RMSE。

       在数据处理过程中，光谱范围的选择对多项式拟 合方法至关重要。为此，本文引入带宽因子 α，并定义 多项式的拟合范围应该位于光谱的 10α dB 带宽之内。 后续的计算将验证带宽因子的选择对计算结果具有显 著影响。此外，干涉条纹的宽度与光程差所产生的时 间延迟（记为 τ）成反比，即时间延迟越短，条纹数量越 少，这一因素同样会对计算结果产生影响。

      假定参考臂的光谱的中心波长为 1055 nm，10 dB 带 宽 为 25 nm，且 光 谱 呈 高 斯 强 度 分 布。为 说 明 信 号 处理方法，首先取 α=1，τ=7 ps。图 2（a）展示了 10 dB 计算范围内模拟得到的干涉谱及其上下包络线。通过 对归一化干涉谱进行希尔伯特变换和解包裹操作，提 取相位信息并计算其二阶导数［即 GDD 值，图 2（c）］， 此时 RMSE 值为 90 fs2 。在无噪声干扰条件下，影响准 确度的主要因素为 MATLAB 软件在执行多项式拟合 和二阶导数求解过程中引入的计算误差［26］ 。

       为降低计算误差，本研究分析了带宽因子 α 和时 间延迟 τ 对 RMSE 的影响。模拟结果如图 3（a）所示， 图 中 白 色 区 域 代 表 RMSE 值 超 过 200 fs2 的 区 域。研 究发现，在固定带宽下，随着时间延迟的增加，误差总 体呈下降趋势，这表明增加干涉条纹数量可以提高相 位提取的准确性。当时间延迟超过 7 ps 后，干涉条纹 数量足够多，此时随着带宽的增加，计算中涉及的有效数据点数量增加，误差进一步降低。在带宽 α≥12 时， 误 差 值 趋 于 饱 和。因 此，为 提 高 准 确 度，需 要 确 保 测 量 带 宽 和 干 涉 条 纹 数 量 均 达 到 足 够 水 平。当 τ≥8 且 α≥12 时，基 于 高 斯 干 涉 谱 反 演 的 色 散 曲 线 误 差 可 控 制在 7 fs2 以下。

       假设输入光谱为 ASE 光源的实际测量光谱，模拟 结 果 如 图 3（b）所 示。结 果 表 明，在 固 定 时 间 延 迟 下，

误差随着带宽的增加呈现先减小后增大的趋势。误差 在 α=2 附近达到最小值，而当带宽超过此值后，特别 是当 α>2.5 时，误差将显著增加。这是由于实际测量 光谱中存在由外界环境或光谱仪引入的噪声，随着计 算范围的扩大，光谱边缘干涉条纹的信噪比减小，从而 对 相 位 提 取 的 准 确 性 产 生 不 利 影 响。固 定 α=2 时，τ 选择在 7 ps 以上，在此参数区间内，基于干涉谱反演的 色散曲线误差可控制在 20 fs2以下。

       依据模拟分析结果，取 α=2.25，τ=7 ps。图 4（a） 展示了在对应的计算带宽内模拟得到的干涉谱及其上 下 包 络 线。图 4（b）为 归 一 化 干 涉 谱 和 提 取 的 相 位 信 息。包络线是通过拟合干涉峰点获得的，光谱两侧边 缘的噪声会影响包络线形状，导致归一化后的干涉谱 最 大 值 可 能 会 超 过 1，从 而 干 扰 了 相 位 提 取 的 结 果。 图 4 对比了基于 ASE 测量光谱得到的 GDD 计算值与 参考值，此时 RMSE 的结果为 19 fs2 。

      本 节 分 别 对 理 想 高 斯 光 谱 和 存 在 测 量 噪 声 的 实 际 ASE 光谱进行了仿真分析，探讨了带宽因子 α 和时 间 延 迟 τ 的 最 佳 取 值 范 围。模 拟 结 果 表 明：对 于 理 想 高 斯 光 谱，当 τ≥8 且 α≥12 时，计 算 数 据 点 数 量 足 够 多，RMSE 可控制在 7 fs2 ；而对于实际光谱，由于边缘 噪 声 的 影 响 ，其 与 理 想 高 斯 光 谱 有 一 定 的 差 异 ，当 α≈2 且 τ≥7 时，计算误差最小，RMSE 可保持在 20 fs2 以下。

4　实验结果

     本 研 究 对 厚 度 为 10 mm 的 SF66 和 F2 两 种 玻 璃 样 品 进 行 色 散 测 量 ，将 测 量 结 果 与 参 考 色 散 曲 线 进 行 比 较 ，求 得 误 差 值（F2 玻 璃 样 品 的 Sellmeier 系 数 如 下 ：B1=1.397570370，B2=0.159201403，B3=1.268654300，C1=0.009959061，C2=0.0546931752， C3=119.24834600）。通过调整参考臂长度，获得不同 时 间 延 迟 下 的 测 量 结 果，并 结 合 不 同 计 算 带 宽 进 行 数 据 处 理 ，结 果 如 图 5 所 示 ，图 中 白 色 区 域 代 表 RMSE 值 超 过 200 fs2 的 区 间。对 于 SF66 玻 璃，当 计 算 带 宽 为 20 dB，时 间 延 迟 介 于 5~10 ps 之 间，RMSE 值 可 保 持 在 20 fs2 以 下 ；对 于 F2 玻 璃 ，同 样 带 宽 下 ， 时 间 延 迟 在 5~12 ps 之 间 ，RMSE 值 可 控 制 在 30 fs2 以下。

     实验中时间延迟的最佳区间存在上限，这一结论 与模拟结果存在偏差。为了解释这一现象，通过傅里 叶变换对干涉信号进行时域分析，结果如图 6（a）、（c） 所示，图中以零延迟为中心的主峰为基频信号，反映了 信号的自相关特性，分布于主峰两侧、对称出现的次级

峰 对 应 于 两 臂 之 间 的 干 涉 信 号。在 每 一 个 特 定 的 时 间延迟下，主峰两侧都会对称地出现两个干涉信号分 量。分 析 结 果 表 明，随 着 时 间 延 迟 的 增 加，次 级 峰 的 强度降低，则干涉谱的信噪比逐渐降低。推测其原因 可 能 是：当 光 源 为 由 光 纤 准 直 器 输 出 的 空 间 光 时，受 限于准直器的制造精度，空间光并未完全准直。随着 时 间 延 迟 的 增 加，测 量 臂 与 参 考 臂 的 光 程 差 增 大，合 束 时 两 路 光 斑 形 状 差 异 显 著，导 致 干 涉 信 噪 比 下 降。 此外，图 6（b）、（d）还展示了去背景后信号的傅里叶变 换 结 果，可 见：在 采 用 包 络 线 去 除 法 对 干 涉 光 谱 进 行 归一化处理后，不需要测量两臂的背景光谱即可有效 去除基频信息。

        SF66 和 F2 两 种 玻 璃 的 误 差 均 在 α=2 且 τ=7 时 达到最小值（图 5）。图 7（a）、（c）分别展示了此时的测量 干 涉 谱 及 其 拟 合 包 络。图 7（b）、（d）则 为 样 品 色 散 测量结果与参考值的对比。RMSE 的数值分别为 7 fs2 和 20 fs2 ，测量范围能够覆盖 1016~1058 nm 的波长区 间。在 长 波 长 区 域，相 对 误 差 较 大，这 与 图 4（c）所 示 的理论模拟结果相一致。此现象主要源于：实验中所 用的 ASE 光源光谱在长波区域具有较长拖尾，随着光 谱 强 度 的 降 低，噪 声 影 响 加 剧，导 致 该 区 域 信 噪 比 下 降，而拖尾的光谱强度很低，自然而然地就引入了更多 的噪声，从而影响了测量的准确度。

       综上所述，通过对 SF66 和 F2 玻璃样品进行色散 测量，验证了理论模型的合理性；同时，由于实验系统 与器件性能的制约，信噪比受到的影响较大，时间延迟 并不能无限增加，存在上限，在 τ 超过 12 ps 后，测量准 确度会显著下降，这是由实际实验中的非理想情况造

成的，所以与理想的理论模型有些差异。结果表明，通 过合理选择测量系统的延时和计算带宽，能够降低实 验系统的误差，有效提高测量准确度。

5　结        论

     本文搭建了基于白光光谱干涉的色散测量系统， 通过理论模拟和实验验证，系统分析了带宽因子和时 间延迟对测量准确度的影响。在理论模型中，分别采 用理想高斯光谱和实际测量光谱作为输入，改变带宽 因子和时间延迟，计算色散曲线并与基于 Sellmeier 方 程得到的参考曲线进行对比。本研究以均方根误差量 化测量准确度，确定了最优参数范围。在实验部分，对 SF66 和 F2 两种标准光学玻璃进行色散测量，结果表 明实验误差与模拟结果的变化趋势一致，这验证了理 论模型的有效性。最终通过优化时间延迟和带宽因子 得到：在 42 nm 光谱范围内，SF66 和 F2 玻璃的色散测 量 准 确 度 分 别 达 到 了 7 fs2 和 20 fs2 。本 研 究 可 以 应 用 于啁啾镜、光波导与光纤器件的制造与测试。