高精度动态白光干涉测量方法

１ 引　　言

     白光干涉测量技术（ＷＬＩ）具有精度高和非接触 式测量的优点，现已被广泛应用于材料科学、航空航 天、天文望远镜、芯片、微机械、微光学等多种领域的 加工制造与科学研究［１－８］。通常情况下，ＷＬＩ在垂直扫描测量过程中需要确保干涉信号的采样间隔相 等，才能较好地复原出待测形貌［９－１６］。但在实际的 测量过程中，现场环境以及光机结构的振动会引入 随机的倾斜相位，导致同一帧干涉图中每个像素点 的采样间隔都会产生随机的变化，使得白光干涉信 号发生畸变，造成零光程差位置的定位不准确从而无法获取正确的待测件形貌信息。因此，ＷＬＩ对环 境振动的敏感性，导致该技术很难应用于工业环境 的在位测量中。

     针对这个问题，研究人员提出了一些白光干涉 抗振动测量的解决方法。例如，ＶＥＥＣＯ 公司提出 在白光干涉光路中增加一路激光干涉通道，其中，白 光干涉通道提供测试信号，激光干涉

通道提供参考 信号［１７］。通过最小二乘椭圆拟合算法分别拟合出 参考信号的正弦分量及余弦分量，使用这两个正交 分量来计算参考信号的相位，并利用该相位解算出 实际扫描位置，之后将实际扫描位置与测试信号代 入质心法中计算出待测物体的高度。该方法具有一 定的抗振能力，但无法适用于振动较大的环境。他 们还提出设置两个或多个相互正交的检测器用于参 考 信 号 的 监 测，但 该 方 法 对 装 置 的 硬 件 要 求 较 高［１８］。ＺＹＧＯ 公司也提出了在白光干涉仪中增加 激光干涉仪进行扫描位置的检测，再利用他们所提 的“Ｊ矩阵法”校正白光干涉数据，最后解算出待测 物体的形貌信息［１９］。由于“Ｊ矩阵法”采用了类似非 均匀傅里叶变换的处理思想，因此对于振动误差是 完全随机分布的干涉信号，其计算精度仍然受到较 大影响。Ｂｒｕｋｅｒ公司提出了一种高精度的垂直扫 描干涉测量方法（ＨＤＶＳＩ）［２０］。该方法采用包络信 息和相位信息相结合的思路，先计算出白光干涉信 号的相干包络峰值位置以提供低分辨率的表面轮廓 信息，之后采用正交解调方法对干涉条纹进行处理 得到不受包络峰值位置偏差影响且精度较高的相位 信息，将轮廓信息及相位信息相结合解算出待测物 体的形貌信息。ＨＤＶＳＩ能够实现亚纳米精度的测 量，但是在较大振动的环境下，测量结果会存在较大 的波纹误差。德国卡塞尔大学也提出了一种白光干 涉测量的振动补偿方法［２１－２２］。在相等时间间隔的条 件下同时采集白光干涉信号以及激光干涉信号，之 后采用离散傅里叶变换对激光干涉信号进行处理得 到实际扫描位置，根据实际扫描位置对白光干涉信 号进行重新排序，并利用线性插值或三角多项式插 值来对重新排序后的白光干涉信号进行校正得到规 则的白光干涉信号。如果先后两幅干涉信号之间的 扫描间隔误差太大，信号插值的性能就会下降，最终 影响测量结果的精度。

     因此，本研究提出了一种新的白光干涉抗振动 测量方法，在白光干涉光路中增加一个窄带滤光干 涉成像通道，先计算出振动环境下的实际扫描位置 来提取白光干涉信号的相干峰值位置以及较为精确的相位信息，再将二者结合来复原出待测物体的形 貌分布。

２ 动态白光干涉测量的原理和方法

２．１ 双通道干涉光路

     本研究 所 使 用 的 干 涉 光 路 形 式 如 图 １ 所 示。 ＬＥＤ点光源发出的白光经过透镜 Ｌ１后在孔径光阑 Ｓ处会聚，之后通过透镜 Ｌ２变为准直光束。该光束 经过分束镜 ＢＳ１反射进入 Ｍｉｒａｕ型的干涉显微物 镜 ＭＯ 后被分为两束，一束经参考镜反射，另一束 入射至待测件 Ｏ 被反射，两束反射光重新汇合后形 成干涉光束。干涉光束透过分束镜 ＢＳ１和管镜 Ｌ３ 之后被分束镜 ＢＳ２分为两路，一路由主通道面阵探 测器 Ｄ１接收得到白光干涉图，另一路经过窄带滤 光片 Ｆ后被副通道面阵探测器 Ｄ２接收得到准单色 光干涉图。将压电陶瓷（ＰＺＴ）配置在物镜 ＭＯ 上 进行移相，在移相过程中两个通道的探测器同步采 集干涉图。其中，准单色光干涉图用于检测实际的 移相扫描位置，白光干涉图将结合实际移相扫描位 置来解算待测件 Ｏ 的形貌分布。

      本研究所提的干涉信号处理算法如图２所示。 利用相位－倾斜迭代法（ＰＴＩ）对准单色光干涉图进行 处理得到倾斜相位平面，进而计算出干涉图上每个 像素点的实际移相扫描位置。通过扫描位置找出白 光干涉信号的相干峰位置并得到粗糙的形貌分布。 通过局部最小二乘法（ＬＬＳ）对相干峰位置附近的一 系列干涉图进行处理来提取精细的相位分布。最后 将所得的粗糙形貌以及精细相位相结合来复原待测 物体的三维形貌分布。下面内容将对该方法的处理 步骤进行详细描述。

２．２ 振动倾斜相位平面的迭代计算

       设副通道采集的准单色光干涉光强为

式中，（ｘ，ｙ）对应干涉图上每个像素点的坐标位置。 为了方便描述，下文把坐标符号（ｘ，ｙ）省略。ｚ 为 物体扫描方向的高度，ｎ 为干涉图的序号，Ａ 为背景 强度，Ｂ 为对比度，φ 为在单色光测量下的相位分 布。ｐｎ 为准单色光干涉图的振动倾斜相位平面，可 表示为

式中，αｎ 和βｎ 分别为ｘ 方向和ｙ 方向的倾斜系数， δｎ 为平动移相量。

      在白光干涉测量当中，如果振动倾斜相位平面 ｐｎ 能够被精确地计算出来，则待测物体的三维形貌 就可以被复原出来。本研究采用相位－倾斜迭代方 法 ＰＴＩ来求解振动倾斜相位的系数［２３］。在处理过 程中，将干涉图分解为ｘ 和ｙ 两个方向的一维信号 分别进行计算。以ｘ 方向的干涉信号为例，主要计 算过程如下：

     １）利用已知的αｋ ｎ 和δｋ ｎ，ｘ来计算背景强度Ａ、对 比度Ｂ 以及相位φ。将αｋ ｎ 和δｋ ｎ，ｘ看作已知量，采用 线性最小二乘的方法来对Ａ、Ｂ 以及φ进行求解。其 中，αｎ ｋ 和δｎ ｋ，ｘ为第ｋ次迭代后得到的倾斜系数；

     ２）将第一步中得到的 Ａ、Ｂ、φ 以及αｋ ｎ 看作已 知量来计算αｋ ｎ ＋１ 和δｋ ｎ ＋１ ，ｘ 。利用空间矢量变换对相 位倾斜 量 ｐｎ，ｘ 进 行 解 耦 操 作，引 入 坐 标 变 换ｗ＝ ｘ＋ω，（ｗ＝１，２，…，Ｗ），将相位倾斜量中与空间坐 标无关的常量ｐｎ，ｘ （ω）分解出来。其中，ｘ 代表了 空间坐标，ω 是与空间坐标无关的常量。则区域 ｗ 内干涉光强可表示为

   　由于ｐｎ，ｘ（ω）＝αｎω＋δｎ，ｘ是与空间坐标无关的 常量，因此可以建立求解 ｐｎ，ｘ （ω）的 线 性 方 程 组。 令ｃｎ（ω）＝ｃｏｓｐｎ，ｘ（ω），ｓｎ（ω）＝ｓｉｎｐｎ，ｘ（ω），ｖ（ｗ）＝ φ（ｗ）＋αｎｘ，建立线性方程组

  　将αｎ ｋ 代入ｖ（ｗ）中，此时 Ａ（ｗ）、Ｂ（ｗ）以及 ｖ（ｗ）均为已知量，因此可以采用线性最小二乘法来 对ｃｎ（ω）和ｓｎ （ω）进 行 求 解，由 此 得 到 ｐｎ，ｘ （ω）、 αｋ＋１ ｎ 和δｋ ｎ ＋１

          重复上述两个步骤直到αｎ 和δｎ，ｘ 达 到 收 敛。 上述算法的流程图如图３所示。

      利用同样的方法对ｙ 方向的干涉信号进行迭 代处理，即可得到系数βｎ 和δｎ，ｙ，则平动移相量为 δｎ＝（δｎ，ｘ －βｎｘ）／２＋（δｎ，ｙ －αｎｙ）／２。将求得的系 数αｎ、βｎ 及δｎ 代入（２）式中得到倾斜相位平面ｐｎ， 即可求出实际的扫描位置

式中λｆ 为窄带滤光片的中心波长。

２．３ 待测形貌的局部最小二乘计算

      设主通道采集的白光干涉光强为

式中，Ａ 为背景光强，Ｂｎ 为受扫描位置调制的对比 度，φ 为待测物体的相位分布，ｑｎ＝Ｓｎ４π／λｃ 为白光 

干涉图的振动倾斜相位，λｃ 为白光光源的中心波长。

      通过实际扫描位置计算出待测件的粗糙形貌 分布

式中，Ｓｉ 为第ｉ帧干涉图所对应的实际扫描位置。

      将干涉图中每个像素点对应的粗糙形貌高度与 实际扫描位置进行比较，找出实际扫描位置与形貌 高度最相近时对应的采样点ｎ。将采样点ｎ 作为相 干峰位置，在其左右两边各取 ｍ 个采样点，构成局 部采样区间［ｎ－ｍ，…，ｎ，…，ｎ＋ｍ］。

      假设在上述的局部采样区间内，白光干涉信号 的调制对比度呈高斯分布

式中，ｂ 为干涉图的最大振幅。令光源的谱段宽度 为 Δλ，系数γ 可表示为 

       对调制对比度进行二阶泰勒展开可以得到

则局部采样区间内的白光干涉强度可以表示为

式中，Ｃ１、Ｃ２、Ｃ３ 为关于ｑｎ 的零阶、一阶、二阶的 系数

     将（１４）式中的白光干涉强度展开得到

利用已知量ｑｎ 和Ｉｎ，采用最小二乘法来对系数 Ａｎ 进行求解

式中，符号“■ ”为 Ｈａｄａｍａｒｄ积的运算，其定义为两 个同型矩阵的逐元素对应相乘。矩阵 Ｘ 中的子矩 阵 分 别 为：ｑ ＝ ［ｑｎ－ｍ ，…，ｑｎ，…，ｑｎ＋ｍ ］Ｔ；ｕ ＝ ［ｃｏｓｑｎ－ｍ ，…，ｃｏｓｑｎ，…，ｃｏｓｑｎ＋ｍ ］Ｔ；ｖ＝［ｓｉｎｑｎ－ｍ ，…， ｓｉｎｑｎ，…，ｓｉｎｑｎ＋ｍ ］Ｔ；Ｑ＝ｑ■ｑ。

      利用得到 的 系 数 Ａｎ 即 可 计 算 出 精 确 的 相 位 分布

       将得到的粗糙形貌分布 ＺＣ 与精确相位分布 ＺＦ 相结合处理得到关于条纹级数的轮廓分布为

式中 Ｒｏｕｎｄ（）为取整函数。

       将精确相位分布与条纹级数的轮廓分布相加即 可得到待测物体的形貌分布为

３   仿真与分析

      为了验证所提方法的可行性，本研究对振动条 件下的理想台阶面测量进行了模拟仿真。理想台阶 高度设置为５００ｎｍ，白光 ＬＥＤ 光源的光谱曲线设 置为高斯分布，中心波长为λｃ＝５７６ｎｍ，半峰全宽 为８０ｎｍ。扫描步长设置为３６ｎｍ（λｃ／１６），主通道 和副通道各生成１５０幅干涉图，在干涉图中引入一系列随机振动倾斜平面，其中，ｘ 方向和ｙ 方向的倾 斜系数αｎ ∈［－０．２，０．２］，βｎ ∈［－０．２，０．２］，平动移 相量γｎ ∈［－λｃ／１６，λｃ／１６］，干涉图的分辨率为２５６ ｐｉｘｅｌ×２５６ｐｉｘｅｌ，干涉图之间的最大振动幅度大约 为λｃ／８。图４为干涉图中的一个像素点的相关数据 曲线。图４（ａ）显示出实际扫描位置在随机振动情况 下不再呈理想的线性分布。图４（ｂ）为实际扫描位置 与理想的线性扫描位置之间的偏差，由图４（ｃ）可以看 出，干涉光强在振动情况下发生了较大的畸变。

       利用 ＰＴＩ算法对副通道的准单色光干涉图进 行处理，得到倾斜相位平面后计算出干涉图上每个 像素点的实际扫描位置。图５（ａ）为其中一个像素 点的真实扫描位置与 ＰＴＩ解算出的扫描位置的对 比图。图５（ｂ）为解算结果与真实值之间的误差曲 线，两者的最大误差小于０．０５ｎｍ，表明 ＰＴＩ计算实 际扫描位置具有很高的精度。

      利用实际扫描位置对干涉图上每个像素点进行 相干峰位置的定位，得到相干峰位置对应的采样点。以该采样点为中心，取前后各４０张干涉图构成局部 采样区间。利用 ＬＬＳ对区间内的干涉图进行处理 得到精确的相位分布，最终复原出的台阶形貌分布 图如图 ６（ａ）所 示。 复 原 台 阶 的 平 均 高 度 值 为 ４９９．３８ｎｍ，与理想台阶高度之间的相对误差仅为 ０．０８％。随机选取复原台阶的一个水平方向截面， 并与理想台阶的同一位置的截面进行对比，图６（ｂ） 为两个截面的对比图，图６（ｃ）为两个截面轮廓之间 的误差。

       此外，本研究对台阶轮廓的平均偏差Ｒａ和均方 根偏差Ｒｑ分别进行了计算，两者的定义分别为

式中，Ｍ 为所取轮廓的像素数，Ｚｍｅａｎ为复原台阶的 平均高度值，Ｚｉ 为第ｉ 个 像 素 点 对 应 的 形 貌 高 度 值。理想台阶轮廓的Ｒａ及Ｒｑ均为０，计算得到复原 台阶轮廓的Ｒａ和Ｒｑ分别为０．０７ｎｍ 和０．０８ｎｍ，与理 想台阶轮廓之间的误差均小于０．１ｎｍ，表明本研究 所提算法在振动情况下具有抗振性能，并且计算精 度较好。

４   实验与分析

      为了验证本方法在实际测量中的性能，本研究 在振动环境下对标称值为４５９．８６ｎｍ 的台阶板进行 了测 量。实 验 采 用 的 相 机 分 辨 率 为 １０２４ｐｉｘｅｌ× １０２４ｐｉｘｅｌ，帧频为５０ｆｒａｍｅ／ｓ，ＬＥＤ 光源的中心波 长λｃ＝５４５ｎｍ，半峰全宽约为１２０ｎｍ，副通道采用 的是中心波长为５５０ｎｍ，半峰全宽为１０ｎｍ 的窄带 滤光片，通过驱动 ＰＺＴ 带动２０倍的 Ｍｉｒａｕ物镜进 行移相，扫描频率为５０Ｈｚ，扫描步长设定为３４ｎｍ （λｃ／１６），共扫描１１０步，扫描范围为３．７４μｍ。实验 采集的白光干涉图及准单色光干涉图如图７所示。

      利用 ＰＴＩ算法单色光干涉图进行处理，所得结果如图８所示。解算出的实际扫描位置与理想的线 性扫描位置之间的对比如图８（ａ）所示，从图中可以 看出，受环境振动的影响，实际的扫描位置与理想的 线性扫描位置之间存在扫描偏差。图８（ｂ）为实际 扫描位置与理想的线性扫描位置之间的扫描偏差曲 线，其中最大的扫描偏差为７８ｎｍ。

     　利用传统的白光干涉 ＷＬＰＳＩ算法［１２］、ＨＤＶＳＩ 算法［２０］和本研究的 ＤＶＳＩ算法对同一组数据进行 处理。在静态环境下对台阶板同一区域的测量结果 作为对比的参考值，如图９（ａ）所示，三种方法所复原 出的三维形貌结果如图９（ｂ）～（ｄ）所示。图１０（ａ）中 干涉图的水平方向虚线与垂直方向虚线分别对应于 台阶中的水平截面位置与垂直截面位置，两个位置 处的轮廓曲线对比分别如图１０（ｂ）及１０（ｃ）所示。 此外，本研究选取了垂直截面轮廓进行 Ｒａ和 Ｒｑ的 计算。所得整个台阶的平均高度，垂直截面轮廓的 Ｒａ和Ｒｑ的计算结果如表１所示。

      从上述测量结果中可以看出，在振动的情况下 传统的白光移相干涉算法已经不能正确复原出待测 形貌了。ＨＤＶＳＩ虽然能够大致恢复出待测台阶的形貌轮廓，但是平均高度以及局部区域的面型仍然 存在 较 大 的 测 量 误 差。 相 对 而 言，本 研 究 方 法 ＤＶＳＩ能够较好地恢复出待测台阶的三维形貌，测 量得到的平均高度与参考值之间的相对误差小于０． １６％，Ｒａ和 Ｒｑ的偏差小于０．０４ｎｍ，由此表明本研 究方法测量得到的台阶形貌与实际台阶具有较好的 一致性。

     为了验证该算法应用于实际测量中的重复性， 本研究在振动环境下对台阶板的同一区域进行了 １０次重复测试。采用 ＤＶＳＩ算法对每一组台阶板 的平均高度以及同一个垂直截面轮廓的Ｒａ和Ｒｑ进 行计算，结果如表２所示。

       计算 得 到 １０ 组 数 据 中 台 阶 高 度 的 平 均 值 为 ４５９．９２７ｎｍ，Ｒａ的平均值为０．４９１ｎｍ，Ｒｑ的平均值 为０．５９２ｎｍ。将每组数据的平均高度、Ｒａ和 Ｒｑ与 计算得到的平均值进行比较，得到三个参数的偏差 图如图 １１ 所示，图 １１（ａ）为台阶平均高度的偏差 图，图１１（ｂ）为 Ｒａ的 偏 差 图，图 １１（ｃ）为 Ｒｑ的 偏 差图。

       器件的形貌结构参数的重复性一般采用参数的 均方根偏差进行评价，均方根偏差的定义为

式中，Ｚｉ 为第ｉ 组参数的值，Ｚｍｅａｎ为所测参数的平 均值，Ｎ 为数据组数。计算得到１０组数据中台阶

高度的均方根偏差为０．２０１ｎｍ，Ｒａ的均方根偏差为 ０．０２３ｎｍ，Ｒｑ的均方根偏差为０．０１６ｎｍ。台阶高度 的均方根偏差小于０．３ｎｍ，Ｒａ和 Ｒｑ的均方根偏差 均小于０．０３ｎｍ，该结果满足一般的高精度测量要 求，由此表明所提算法的重复性精度较好。

５   结　　论

      本研究提出了一种适用于振动环境中的白光干 涉测量方法。该方法采用双通道光路结构，副通道 的准单色光干涉图用于实际扫描位置的测量，主通 道的白光干涉图用于待测物体的三维形貌复原。数 值仿真以及对比实验的结果表明，采用 ＰＴＩ能够精 确地解算出实际的扫描位置，采用 ＬＬＳ能够精确地 计算出待测物体的相位分布。研究结果表明本研究 方法在振动环境下能够较好地恢复出待测件的形貌 分布信息，有望应用于复杂振动环境下的高精度形 貌测量技术中。