基于波数域相位补偿的白光干涉测量

１ 引　　言

     干涉测量技术以高精度、高速度和非接触性等 优点受到广泛关注［１－４］，使用单波长光 源 时，干 涉 信 号易受噪声的影响且测量范围不能超过光源波长的 １／４。当使用白光光源时，弱时间相干性减小了光源 纵向相干长度，使干涉仪具有更大的测量范围和更 强的抗噪能力［５－１０］。白光扫描干涉仪通过移动参考 臂来改变光程差，得到随时间变化的白光干涉信号， 信号中存在两个重要的参数———包络峰值和光强峰 值，研究结果表明光强峰值［１１］比 包 络 峰 值［１２］有 更 高的测量精度。另外，利用相移法［１３－１５］可以求解干 涉信号的初始相位，但相移法对参考臂的位移精度 要 求 较 高。由 ｄｅＧｒｏｏｔ等［１６－１８］提出的频域分析 （ＦＤＡ）方法，通过处理波数域的相位得到物体表面 形貌，该方法对采样频率的要求较低，具有较高的测量精度。

      ＦＤＡ 方法中，波数域的相位经解包裹和线性拟 合后为ａ０＋ａ１σ，ａ０ 与ａ１ 为常数，σ 为波数，噪声使 ａ１ 偏离真实值，给 ＦＤＡ 方法引入了测量误差。研 究发现，ａ０ 可有效抑制噪声对ａ１ 的影响。

      波数域相位补偿（ＰＣＷＤ）方法通过在波数域使 用线性拟合相位ａ０＋ａ１σ代替原相位进行傅里叶逆 变换的方式在干涉信号中加入ａ０ 部分，得到空域中 干涉信号的振幅和相位分布，振幅最高点的位置为 ｚａ，距离ｚａ最近的相位零点的位置为ｚｐ，ｚｐ受ａ０ 与 ａ１ 共同影 响。２０１７ 年，本 课 题 组 提 出 一 种 ＰＣＷＤ 方法［１９］，通过探测色散相位并在波数域消除非线性 色散相位得到近似线性的相位分布，再进行傅里叶 逆变换得到ｚａ 与ｚｐ的 分 布，但该方法将测量精度 的提升归于色散相位的消除，并未对 ＰＣＷＤ 方法进 行理论研究，也 未 与 ＦＤＡ 方 法 进 行 比 较。本 文 通过仿真分析ａ０ 与ａ１ 的特性，并与ＦＤＡ 方法的结果 进行比较，评估 ＰＣＷＤ 方 法 对 噪 声 的 抑 制 能 力，并 利用 ＦＤＡ 和 ＰＣＷＤ 方法测量表面 光 滑 的 反 射 镜， 实验结 果 表 明，ＰＣＷＤ 方 法 在 ＦＤＡ 方 法 的 基 础 上 进一步提升了噪声抑制能力。因 此 ＰＣＷＤ 方 法 可 帮助干涉仪适应复杂的工作环境，具有一定的应用 前景。

２    白光干涉原理

     图１为白光扫描干涉仪示意图，光源选用光谱 分布为Ｉ（σ）的超连续谱激光（ＳＣＬ），样品表面的位 置为ｚ０，参考面的位置为ｚ，当利用压电陶瓷（ＰＺＴ） 促动器 控 制 参 考 面 扫 描 时，相 机 检 测 到 的 干 涉 信 号［２０］可表示为

式中：φｎ （ｚ）为 由 外 界 振 动 引 起 的 光 程 差 的 变 化； φｂ（ｚ）为背景噪声。对式（１）作傅里叶变换，得到波 数域的干涉信号为

式中：β（σ）可由φｎ（ｚ）和φｂ（ｚ）的傅里叶变换得到。 在理想情况下，波 数 域 的 相 位 分 布 如 图２（ａ）所 示， 如果从蓝色的采样点开始进行相位解包裹，解包裹 后的相位 为ａ０ ＋ａ１σ，其 中ａ１ ＝－４πｚ０，ａ０ ＝２ｎπ， 整数ｎ 取决于第一个相位解包裹的采样点和ｚ０，ａ１ 是波数域 中 相 位 的 斜 率，ＦＤＡ 方 法 通 过 参 数ｚｓ＝ －ａ１／４π得到ｚ０。当干涉信号中存在噪声时，对 式 （２）中的相位 进 行 解 包 裹 和 线 性 拟 合，得 到 的ａ０ ＋ ａ１σ如图２（ｂ）波数域相位分布中的虚线所示，受 β（σ）影响，ａ１≠－４πｚ０，这给参数ｚｓ 引入了误差。

　将线性拟合的相位ａ０＋ａ１σ组成新的波数域干 涉信号：

把ＩＦ（σ）的傅里叶逆变换表示 为Ａ（ｚ）ｅｘｐ［ｊα（ｚ）］， 则 ＦＬ（σ）的傅里叶逆变换可表示为

      如图２（ｂ）所示，Ｓｃ（ｚ）的 相 位 周 期 为λＡ／２，λＡ 为平均波长，振 幅 分 布 的 最 高 点 位 置 为ｚａ，从 振 幅 Ａ（ｚ－ｚｓ）可知ｚａ＝ｚｓ，距离ｚａ 最近的相位零点ｚｐ 可表示为

其中，ａ０ 通过ａ０±２ｎπ的形式存在于区间［－π，π］ 中。

     图２（ｃ）为理想情况的不同噪声相位β（σ）影响 下的线性拟合相位示意图，其延长线与纵轴的截距 为ａ０，斜率为ａ１，当ａ０ 的 值 减 小 时，ａ１ 的 值 增 大， 此时ａ０ 与ａ１ 受噪声影响产生相反的变化趋势，根 据式（５），ａ０ 可补偿噪声对ａ１ 的影响，从而提升ｚｐ 的测量精度。但是，噪声的影响是否总与图２（ｃ）所 示虚线的变 化 情 况 相 符，则需要通过仿真来验证。 因此，本研究将在仿真中讨论以下两个问题：

     １）相比于参数ｚｓ，参数ｚｐ 是否普遍具有更高 的测量精度？

     ２）受噪声影响，是否存在ａ０ 与ａ１ 的变化趋势 相同的情况，导致ｚｐ 产生更大的测量误差？

３    仿真分析

     通过在仿真中加入振动噪声和背景噪声来分析 参数ａ０ 和ａ１ 对参数ｚｓ（ＦＤＡ）和ｚｐ（ＰＣＷＤ）的 影 响，参 考 实 验 数 据 中 的 噪 声 特 性，生 成 平 均 值 为 ０ｎｍ、标准差 为 ２０ｎｍ 的高斯噪声作为振动噪声 φｎ（ｚ），采集实验中的背景噪声φｂ（ｚ），把φｂ（ｚ）与 干涉信号之间的信噪比设为ＲＳＮＲ＝１０。

      图３为仿真的干涉信号分布图，样品表面的位 置ｚ０＝０μｍ，采样点数 Ｎ 为１０２４，采样间隔 Δｚ 为 ０．０３９６μｍ，波 数 的 采 样 间 隔 Δσ＝１／（２ＮΔｚ）＝ ０．０１２３μｍ－１。对干涉信号作傅里叶变换后，波数域 范围［１．１５μｍ－１，２．０５μｍ－１］的 相 位 如 图 ４（ａ）所 示，解包裹后的相位 分 布 如 图４（ｂ）所 示，线 性 拟 合 后得到的线性相位分布和非线性相位分布分别如 图４（ｃ）、（ｄ）所示。从图４（ｃ）得到ａ０ 和ａ１ 的值，本 节将通过归纳数据讨论前文提出的两个问题。

      首先讨论问题一“相比于参数ｚｓ，参数ｚｐ 是否

普遍具有更高的测量精度”。在仿真干涉信号中加 入１０万组数据振动噪声φｎ（ｚ），对参数ｚｓ 和ｚｐ 进 行统计，结果如图５所示，横坐标是ｚｓ 和ｚｐ 的分布 区间，纵坐标是分布在各个区间的ｚｓ 和ｚｐ 的个数。 由图５ 可 知，参 数 ｚｓ 的 分 布 区 间 在 ［－０．０４μｍ， ０．０４μｍ］，参 数 ｚｐ 的 分 布 区 间 在 ［－０．０１μｍ， ０．０１μｍ］，在仿真中物体的位置为ｚ０＝０μｍ，就整 体而言，ｚｐ 比ｚｓ 更 加 接 近 于 真 实 位 置ｚ０ ＝０μｍ， 因此ｚｐ 具有更强的相位噪声抑制能力。

      其次讨论问题二“受噪声影响，是否存在ａ０ 与 ａ１ 的变化趋势 相 同 的 情 况，导 致ｚｐ 产 生 更 大 的 测 量误差”。在仿真中，ａ０ 与ａ１ 受振动噪声φｎ（ｚ）影 响的变化量定义 为 Δａ０ 与 Δａ１，通 过 Δａ０ ×Δａ１ 的 符号判断ａ０ 与ａ１ 的变化趋势。图６（ａ）所示为１０万 组 Δａ０×Δａ１ 值的符号分布比例：Δａ０×Δａ１＜０，表 示ａ０ 与ａ１ 的 变 化 趋 势 相 反，占 比 为９０％；Δａ０ × Δａ１ ＞０，表 示 ａ０ 与 ａ１ 的 变 化 趋 势 相 同，占 比 为 １０％。根据式（５），当ａ０ 与ａ１ 的变化趋势相反时， Δａ０ 补偿 Δａ１ 给参 数ｚｓ 引 入 的 误 差，因 此 参 数ｚｐ 具有更高的测量精度。由此可见，９０％的数据中参 数ｚｐ 的测量精度比ｚｓ 高，１０％的数据中参数ｚｐ 的 测量精度比ｚｓ 低。

       为了进一步分析ａ０ 对参数ｚｐ 的影响，分析了 １０万组 数 据 中ａ０ 对ｚｐ 测量结果的影响，结 果 见 图６（ｂ），其中横坐 标 是 式（５）中ａ０ 对 参 数ｚｐ 的 影 响。从图６（ｂ）可以看出：当 Δａ０×Δａ１＞０时，多数 ａ０ λＡ ４π 的值小于３ｎｍ，平 均 值 为１．９ｎｍ，说 明 此 时ｚｐ 的测量误差在ｚｓ 的测量结果的基础上平均增 大了１．９ｎｍ；当Δａ０×Δａ１＜０时，多数 ａ０ λＡ ４π 的值 小于２０ｎｍ，平均值为８．９ｎｍ，说明此时ｚｐ 的测量误 差在ｚｓ 的测量结果的基础上平均减小了８．９ｎｍ。

    　此外，在干涉信号中加入１０组实验中采集的背 景噪声φｂ（ｚ），得到｜ｚｓ｜与｜ｚｐ｜的值如表１所示，其 中物体的位置信息为ｚ０＝０ｎｍ。｜ｚｓ｜的 平 均 值 为 ４．５ｎｍ，均方差为３．０ｎｍ；｜ｚｐ｜的平均值为０．７ｎｍ， 均方差为０．５ｎｍ。由此可见，ｚｐ 有更强的背景噪声 抑制能力。

      综上所述，参数ｚｐ 相 比 于ｚｓ 普 遍 具 有 更 高 的 测量精度，但并非对于所有的噪声分布，参数ｚｐ 都 可以提供更高的测量精度。在１０万组高斯分布相 位噪声的仿真中，有１０％的概率为ｚｐ 相 比 于 参 数 ｚｓ的 测 量 误 差 平 均 增 大 了１．９ｎｍ，９０％ 的 概 率 为

ｚｐ 相比于参数ｚｓ 的测量误差平均减小了８．９ｎｍ， 从整体而言，参数ｚｐ 具有更高的测量精度。在仿真 中加入１０组从实验中采集的背景噪声，背景噪声给 ｚｐ 带来的平均误差为０．７ｎｍ，相比于相位噪声，背 景噪声产生的影响较小，因此本研究不对背景噪声 进行过多的讨论。

     仿真结 果 表 明，ＰＣＷＤ 方 法 中 的 参 数ｚｐ 具 有 更好的噪声抑制能力，因此在使用 ＰＣＷＤ 方法测量 光滑的 反 射 镜 表 面 形 貌 时，其 测 量 结 果 应 相 比 于 ＦＤＡ 方法的结果更为光滑，多次测量的重复率值也 应该更小。

４    实验结果

     根据图 １ 搭 建 干 涉 光 路，光 源 的 光 谱 范 围 为 ４００～１２００ｎｍ，被测样品和参考镜是表面光滑的反射镜，Ｌｅｎｓ１、Ｌｅｎｓ２和 Ｌｅｎｓ３是消色差 透 镜。高 速相机的像素尺寸为 ２０μｍ，相 机 采 样 面 积 为 ２００ｐｉｘｅｌ×２００ｐｉｘｅｌ，Ｘ 和Ｙ 表示像素点的位置，压 电陶瓷促动器的扫描 速 度 为８０μｍ／ｓ，干 涉 信 号 的 采样点数为１０２４。被测物体为反射镜，可以认为其 表面是光滑的连续曲面，因此本实验用测量结果的 粗糙度和重复率来评估参数ｚｓ 与ｚｐ 的测量精度。

       对反射 镜 进 行 多 次 测 量，测 量 的 时 间 间 隔 为 １０ｍｉｎ，把每次 测 量 命 名 为 Ｍ１，Ｍ２，…，Ｍｎ。图 ７ 所示为 Ｍ１、Ｍ２、Ｍ３ 通过参数ｚｓ 测量得到的反射镜 表面形 貌，其 中 Ｘ ＝１００ｐｉｘｅｌ、沿Ｙ 方 向 的 三 组 表 面形貌分布如 图８（ａ）所 示，起 伏 基 本 小 于２５ｎｍ。 图９所示为 Ｍ１、Ｍ２、Ｍ３ 通过参数ｚｐ 测量得到的反 射镜表 面 形 貌，其 中 Ｘ ＝１００ｐｉｘｅｌ、沿Ｙ 方 向 的 三 组表面形 貌 分 布 如 图１０（ａ）所 示。为 了 方 便 对 比，

图１０（ｂ）放大了Ｙ 在区间［７０ｐｉｘｅｌ，１３０ｐｉｘｅｌ］的部分， 图１０（ｂ）中表面中的起伏小于４ｎｍ。首先对比整体 表面形貌分布（图７、图９），发现参数ｚｐ 的测量结果 比参数ｚｓ 的测量结果光滑；其次对比 Ｘ＝１００ｐｉｘｅ的这条线上的测量结果（图８、图１０），发现参数ｚｐ 测 量结果的起伏小于参数ｚｓ。由此可见，参数ｚｐ 的测 量结果更符合反射镜具有光滑连续曲面的实际情况， ＰＣＷＤ方法相比ＦＤＡ方法具有更高的测量精度。

      为了分析 ＰＣＷＤ 方 法 的 稳 定 性，将 Ｍ１ 和 Ｍ２ 的测量结果相减，Ｘ＝１００ｐｉｘｅｌ时沿Ｙ 方向的分布 如图１１所示，参数ｚｓ 的测量结果 起 伏 小 于３０ｎｍ， 而参数ｚｐ 的 测 量 结 果 起 伏 小 于４ｎｍ，表 明 在 Ｍ１ 和 Ｍ２ 的 测 量 中，参 数ｚｐ 的 测 量 结 果 相 比ｚｓ 更 加 稳定。参数ｚｓ 和 参 数ｚｐ 对整个平面的多次测量 结果的重 复 率 分 别 为７．４ｎｍ和 １．１ｎｍ，证 明 了 参 数ｚｐ 对系统中的随机噪声的抑制能力更强。实验结果表明，ＰＣＷＤ 方 法 在 表 面 测 量 中 具 有 更 高 的 测量精度 和 更 好 的 稳 定 性，与 第 ３ 节 的 仿 真 结 果 相符。

５ 结　　论

     在 ＦＤＡ 方 法 的 基 础 上 提 出 了 ＰＣＷＤ 测 量 方 法，通过仿真分析了 ＰＣＷＤ方法中的常数项ａ０ 的 特性，仿 真 结 果 表 明ａ０ 有 ９０％ 的 概 率 降 低 ＦＤＡ

测量结果中平均８．９ｎｍ 的 误 差，也 有１０％的 概 率 增 大 ＦＤＡ 测量结果平均１．９ｎｍ 的误差，所以从整 体而言，ａ０ 有 一 定 的 噪 声 抑 制 能 力。对 光 滑 反 射 镜表面的测量结果显示：ＦＤＡ 方法测量的表面起 伏小于２５ｎｍ，重复率为７．４ｎｍ；ＰＣＷＤ 方 法 测 量 的表面 起 伏 小 于 ４ｎｍ，重 复 率 为 １．１ｎｍ。因 此， ＰＣＷＤ的测量结果更 加 符 合 反 射 镜 表 面 光 滑 的 特 点，低重复 率 也 说 明 了 ＰＣＷＤ 方法有更强的随机 噪声抑制能力。