白光显微干涉测量曲面样品形貌误差的校正方法

引   言

  目前，以精密微球、微透镜阵列等为代表的曲 面型物体在光学、生物医疗器械等领域中具有广 泛的应用，高精度地测量曲面物体的形貌和表面 质量对产品的设计、制造和质量控制至关重要。 白光显微干涉术是一种成熟的三维形貌测量技 术，常用于精密结构、光学表面、光学元件等的检 测和表征[1] ，是精密制造和光学加工的重要保障[2]。 白光干涉仪（white light interferometer, WLI）应用低 相干光作为光源，通过待测表面反射的测试光和 参考面反射的参考光发生干涉，由于光源在时间 和空间相干性上的限制，使得干涉条纹只在零光 程差附近产生，有效克服了单色光干涉的相位模 糊问题，在台阶、沟槽等平面阶跃型结构的形貌测 量中优势明显[3-4]。由于干涉显微物镜数值孔径 （numer,cal aperture, NA）限制了光的最大入射角为θmax = arcsin(NA),因此，当曲面样品表面斜率接近 或者超过 时，局部的反射光难以被物镜收集[5] ， 导致白光干涉仪在测量高斜率表面时误差产生以 及样品表面形貌复原区域缩小，降低了测量效率 和精度。对于阶跃型表面的测量，可以使用标准 台阶板校准白光干涉仪，使测量精度达到亚纳米 级；但曲面样品和阶跃型平面样品的形貌测量误 差来源不一样，使用标准台阶板的校准方式不足 以完全消除系统误差。且曲面形貌测量误差随着 表面斜率的增大而增大[6] ，导致白光干涉仪在测量 复杂几何形貌的表面时无法得到良好的结果[7]。 因此，在使用白光干涉仪测量曲面样品时，研究提 升最大可测量斜率和校正形貌测量误差的方法， 具有重要的科学意义和应用价值。

     XIE W 等人的研究证明，与斜率相关的测量误 差和系统的空间频率响应密切相关[8] ，因此，确定 白光干涉系统的频域传递特性有助于分析与计算 其测量误差；COUPLAND J M 等人从标量波动方 程出发[9] ，将三维成像理论和表面散射理论相结合，推导出白光干涉三维成像模型，在基尔霍夫近 似条件有效以及待测表面局部的曲率半径远大于 波长的情况下，白光干涉系统的测量过程可以用 三维 STF 表示；MANDAL R 等人根据理论对理想 无像差白光干涉仪三维 STF 进行仿真[10] ，实验测量 白光干涉仪三维 STF，并计算逆滤波器校正干涉条 纹[11]。在实际应用中，由于提取仪器实测 STF 的相 位生成的普通逆滤波器对干涉条纹频谱的高频信 号增益较小，使其对高斜率表面对应干涉条纹的 校正效果有限，单纯提高全频段增益系数反而会 使频谱的信噪比下降。因此，采用白光干涉仪实 测 STF 构建滤波器会限制最大可测量表面斜率的 提升。

      本文针对白光干涉仪在测量曲面样品时形貌 测量误差较大的问题，采用虚实融合型逆滤波的 方法校正误差。首先通过仿真计算白光干涉仪特 性参数对应的虚拟 STF，从中提取模作为振幅增益 函数，再通过不锈钢微球得到仪器的实测 STF，提 取其中的相位得到相位补偿函数，两者相乘得到 虚实融合型逆滤波器。与相位函数相比，振幅函 数与干涉条纹频谱增益的关联性更紧密，因此，虚 实融合型逆滤波器可用于校正干涉条纹的振幅和 相位误差，最终达到提升曲面样品的最大可测量 斜率和减小形貌测量误差的目的。

1    基本原理

  白光干涉仪输出干涉信号 I(r) 的过程可以表 征为对物函数的三维线性滤波运算[12] ，该运算在空 域中由卷积表征：

式中： 是系统的点扩散函数； 是定义三 维物体在空域分布的函数， 表示三维空间积分dr ′ xdr ′ ydr ′ z.点扩散函数表达式为

式中： 为光源谱密度，通常按照高斯函数分布；波数 为 ； 是成像系统的格林函数：

式中： 为沿光轴方向的单位矢量； oˆ NA 为光学系统 的数值孔径；δ(k) 和 step(k) 分别为 Dirac 函数和 Heaviside 阶跃函数。

      假设物体表面是光滑的，且表面局部的曲率半 径远大于波长，则 2 个均匀介质之间的界面可以表 示为薄膜状物体，即“表层膜模型”[13] ，它是在样品 表面 x-y 位置处沿 z 方向的一维 Dirac 函数，表达式为

式中：R 为物体的反射系数； 是光照面积的 窗函数； 是三维物体表面高度的二维函数。 在实际应用中，表层膜模型可以表示为物体表面 薄薄的一层，在 x-z 方向上体现为物体表面的轮廓 细线，图 1 所示为 1 个微球及其顶部区域的表层膜 模型。

      对式（1）做傅里叶变换，得到在频域中的滤波 运算表达式为

式中： 是干涉信号的频谱； 是物体表面的频 谱 ； 即为 系统的三维表面传递函数 ，表达 式为

式中： 为成 GNA(k, k0) 像系统在频域上的格林函数， 表达式为

      依据上述理论，可以根据 NA 以及光源频谱分 布表征理想白光干涉仪的成像过程，由于微球表 面斜率连续变化，可以利用微球的表层膜模型和 干涉条纹的频谱计算白光干涉仪的实测 STF，计算 公式为

式中： 是微球经过白光干涉仪测量的 x-z 方向 干涉条纹的频谱； 是通过微球的几何尺寸计算 出相应的 x-z 方向表层膜模型的频谱。根据式（8） 计算出的实测 STF 是一个复数值，幅值表示白光 干涉仪的空间频率通带 ，相位表示经过标准 台阶板校准后成像系统的光学像差[14] ，具体将其表 示为

      将白光干涉系统的实测 STF 相位取负值即可 得到逆滤波器：

      可以应用逆滤波器校正带有像差的系统测量 获取的干涉条纹，将逆滤波器和直接通过白光干 涉仪测量得到的干涉条纹的频谱相乘，即可得到 修正后的干涉条纹的频谱，再经过傅里叶逆变换 得到校正后的干涉条纹数据 ：

      如图 2 所示，白光干涉仪在测量斜率较大的位 置时，只有在 2 个光锥的重叠区域内的入射波矢量 和反射波矢量 才构成干涉信号，此时物镜的有 效 NA 减小，局部的反射光减弱，干涉信号对比度 随之降低，导致形貌测量误差增大。

      在文献 [10] 中，以式（10）为基础计算普通逆滤 波器，虽然可以通过补偿相位来校正干涉条纹的 频谱，减小形貌测量的误差，但无法有效提升频谱 中的高频信号，也无法提升截止频率，因此对高斜 率表面对应的边缘条纹的校正效果有限；若是单纯提升全频段增益系数就会导致低频信号失真， 反而会使干涉条纹频谱的信噪比下降，形貌测量 误差也会随之增大。因此，有限增益的普通逆滤 波校正算法限制了最大可测量表面斜率的提升。

      针对上述问题，本文提出提取白光干涉仪特性 参数对应的虚拟 STF 的模作为逆滤波器的振幅增 益函数，再与普通逆滤波器相乘得到虚实融合型 逆滤波器，具体计算方法如下：白光干涉仪特性参 数对应的虚拟 STF 可以表示为

式中： 为待测物体的表层膜模型； 为虚拟 白光干涉仪仿真生成的干涉条纹的频谱； 为 虚拟 STF 的模； 为相位。提取 代入到式 （10）中，得到虚实融合型逆滤波器的表达式：

      该逆滤波器在提升高斜率表面对应的高频信 号的同时，避免了低频信号被过分放大，仅在虚拟 STF 的带通范围内对干涉条纹频谱进行校正，也避 免了无效信号被凸显，保证了校正过程的有效性。 将式（13）代入到式（11）中，即可应用虚实融合型逆 滤波算法对原始干涉条纹数据进行校正，实现提 升曲面样品的最大可测量斜率和减小测量误差的 目的。

2   虚拟 STF 和实测 STF 的计算

  根据上节三维 STF 的相关理论设计虚实融合 型逆滤波校正实验，具体的实验流程如图 3 所示。

光源的中心波长 λ0=0.6 μm，半峰宽度 Δλ=0.18 μm， 干涉显微物镜 NA=0.4，放大倍率为 20× ，视场范围 为 350 μm×350 μm。根据仪器的特征参数，可以计 算可测量微球斜率的极限为 θ=arcsin(NA)=23.58°。 本文选购了半径为 250 μm±1 μm 的不锈钢微球作 为测量样品 ，使得干涉条纹出现在横向范围为 200 μm 以内且靠近视场中心，最大可测量斜率的 位置仍保持在仪器可测量范围内。

      基于虚拟白光干涉仪 VCSI 软件仿真计算白 光干涉仪特性参数对应的虚拟 STF[15] ，为了与实际 仪器测量过程的采图结果相匹配，数值仿真前还 需要设定水平和垂直方向的采样点数量和采样间 隔。x 和 y 方向采样点数量均为 1 024，与实际单幅 干涉图大小一致，采样间隔为 0.345 μm，与实际相 机成像的采样间隔一致；z 方向采样点数量为 483， 实际扫描采图过程中同样为 483 幅，采样间隔为 0.075 μm，与实际移相步长（λ/8）一致。仿真结果如 图 4 所示，图 4（a）和图 4（b）分别为三维 STF 的 kx - kz 截面图和 kx -ky 截面图。

      将不锈钢微球置于玻璃平板上，并调整位置使 其位于白光干涉仪的视场中心，记录扫描干涉条 纹，对测量得到的干涉条纹进行傅里叶变换计算 其频谱。根据仿真的虚拟 STF 计算，获得如图 5 所示的带通滤波器，将其和干涉条纹的频谱相乘 滤除无效数据，经过带通滤波降噪前后的干涉条 纹及条纹中心的干涉信号如图 6 所示。

       使用白光干涉仪多次测量不锈钢微球顶部到 放置玻璃平板的高度，确定不锈钢微球的平均半 径为 250.46 μm；再根据测量的直径生成微球对应 的表层膜模型（如图 7 所示），对表层膜模型进行傅 里叶变换得到图 8 所示的频谱；根据式（6）的计算 过程，用滤波后干涉条纹的频谱除以微球表层膜 模型的频谱，即可得到白光干涉仪的实测 STF，结 果如图 9 所示。

3     虚实融合型逆滤波校正结果分析

  根据式（10）和式（13）分别计算普通逆滤波器 Hmix  和虚实融合型逆滤波器Hinv ，再根据式（11）分 别计算出校正后的干涉条纹。条纹及其中心处（对 应微球表面斜率 0°）的干涉信号如图 10 所示，与 图 6 中干涉图相比，可以看到条纹边缘清晰度有所 提高。在微球表面斜率为 10°、15°和 20°时，分别 提取图 10（a）和图 10（c）对应位置的干涉信号。

     图 11 和图 12 分别为普通逆滤波校正后和虚 实融合型逆滤波校正后不同表面斜率对应的干涉 信号。对比这两组干涉信号，普通逆滤波校正后 的干涉信号的对比度会随着斜率增大而衰减，且 会伴随着出现多个包络，将导致难以准确恢复表 面形貌；虚实融合型逆滤波校正后的干涉信号虽 然会随着斜率增大而增大震荡，但对比度没有明显的衰减，且无旁瓣影响相干峰位置的判别。

      原始条纹和逆滤波校正后的形貌测量结果如 图 13 所示，表 1 具体给出两种逆滤波校正效果的 对比数据。由于条纹级次计算误差，形貌测量曲 线会在部分位置出现高度突变。本文以形貌测量 误差的每个数据点前后 10 个点的均方根误差（root mean square error, RMSE）为标准，当其值大于 0.3 μm 时，判定该点为最大可测量斜率的位置。普通逆 滤波校正后的形貌测量结果存在大量毛刺，由于 对高频信号增益较小，导致最大可测量表面斜率 提升有限，仅由 8.09 °提升至 16.34 °。经过虚实融 合型逆滤波校正后的形貌测量结果，在更接近微 球表面标称高度的同时减少了毛刺，最大可测量 斜率提升至 21.20 °，sin(θ)=0.36，接近干涉显微物镜 设计的测量极限，均方根误差从 0.545 5 μm 降低 至 0.175 9 μm。相对于普通逆滤波器而言，虚实 融合型逆滤波器可以进一步提升曲面样品的最大 可测量斜率和减小误差。此外，微球的横向测量 范围相应地从未校正前的 70.49 μm 最终提升至 181.14 μm，在白光干涉仪对微球整体形貌的检测 中可以减少旋转次数。

4     结论

  在使用白光干涉仪测量曲面样品时，形貌测量 误差会随着表面斜率的增大而增大，针对该问题， 本文通过提取虚拟 STF 的模作为振幅增益函数， 再由实测 STF 的相位计算相位补偿函数，将二者 结合形成虚实融合型逆滤波器，用于校正曲面样 品形貌测量的误差。与普通逆滤波校正方法相 比，虚实融合型逆滤波校正方法可以克服对高频 信号的补偿不足的问题，避免高斜率表面干涉信 号无效包络的产生。应用该方法校正不锈钢微球 的形貌测量结果，在减小测量误差的同时可以有效提升最大可测量斜率，RMSE 从 0.545 5 μm 降低至 0.175 9 μm，最大可测量斜率从 8.09 °提升到 21.20°， 接近干涉显微物镜 NA 决定的测量极限，提升了仪 器针对曲面样品的测量范围。