基于扫描误差修正的高精度白光干涉测量

1　引     言

     白光干涉测量是一种广泛应用在表面形貌检测的 高精度测量技术［1- 4］ ，使用白光光源克服了单色光干涉 测量法测量范围不能超过光源波长 1/4 的局限。白光 扫描干涉仪使用压电促动器（PZT）控制参考镜移动来 改变干涉信号的光程差，通过连续采集的白光干涉信 号（WLIS）检测样品的表面形貌，但 PZT 的迟滞效应引起的非线性运动和环境振动产生的扫描误差使白光 干涉信号发生畸变，从而影响测量精度［5］ 。

       消除扫描误差的方法主要分为两类：一类是在白 光干涉仪中加入检测装置，通过实时控制扫描路径来 消除误差；另一类是通过算法来处理白光干涉信号，用 以消除扫描误差对信号造成的干扰。在第一类方法的 研究中：Kiyono 等［6］ 在白光干涉仪中内置小型干涉仪 来监测实际扫描路径，并通过反馈电路来实现白光扫描干涉仪的自校准，但该系统需要额外增加装置且结 构复杂；Kim 等［7］ 通过在 Mirau 物镜上安装电容传感器 来实时检测和矫正 PZT 的扫描路径，该方法虽然简化 了 PZT 扫描路径的检测装置，但是不能完全消除环境 振动带来的扫描误差。在白光干涉仪中加入探测单色 光干涉信号的装置，单色光干涉信号与白光干涉信号 受到相同的扫描误差的干扰，通过单色光干涉信号计 算实际扫描误差从而控制 PZT 的扫描路径，这类方法 的优点在于实时性好、速度较快，但精度相对不足［8- 9］ 。 另外，单色光干涉信号可以用于直接修正白光干涉信 号，此类方法可提供更高的测量精度，修正过程发生在 采集信号之后所以实时性降低。毕书贤等［10］ 等使用相 位- 倾斜迭代方法对准单色光干涉图进行处理得到实 际的移相扫描位置来对白光干涉信号进行相干峰位置 的定位，从而消除移相误差。薛亮等［11］ 使用准单色光 干涉图求解移相间隔，通过移相间隔以及 NUFFT 算 法对白光干涉图进行校正，使白光干涉仪有较好的抗 振动性能。

       在通过算法处理白光干涉信号来降低扫描误差干 扰的研究中：Okada等［12］ 通过迭代算法得到波前和相位 的分布，减小相位噪声对测量结果的影响。虽然迭代算 法不断发展［13- 16］ ，但整体需要的计算量较大。de Groot 等［17- 18］ 提出的频域分析（FDA）方法，通过处理白光干涉 信号的频域相位得到待测物体表面形貌，相比于从白光 干涉信号的强度峰值和包络峰值解析物体形貌信息，该 方法对干涉信号的采样率要求较低，具有相对较高的测 量精度。Ma 等［19- 20］ 通过算法处理白光干涉信号波数域 的相位，来消除随机噪声产生的非线性相位对测量精度 的影响。使用该算法消除扫描误差干扰的优势在于不 需要额外的装置，但难以完全去除扫描误差的影响。

      基于此，本文在波数域相位补偿（PCWD）方法的基 础上提出一种新的白光干涉测量方法［21］ 。先对白光干 涉信号进行傅里叶变换，再对波数域的相位进行线性拟 合，相比于 FDA 方法使用线性拟合后相位的斜率来计 算表面形貌，PCWD 方法引入了线性拟合相位的常数 项来进一步消除测量误差。在上述方法的基础上，通过 改进的白光干涉测量系统得到测量过程中的实际扫描 误差来修正畸变的白光干涉信号，再使用 PCWD 方法 处理白光干涉信号，实现表面形貌测量精度的进一步提 高。仿真和实验验证了白光干涉信号扫描误差修正方 法的有效性和必要性，实验结果表明，通过修正白光干 涉信号能同时提高 FDA 和 PCWD 方法的表面形貌测 量精度，但结合白光干涉信号修正方法和 PCWD 方法 总是能更好地抑制噪声，使白光扫描干涉仪在嘈杂的工 作环境下保证高精度、高重复率的测量结果，具有良好 的应用前景。与本课题组 2019年提出的使用单色光干 涉信号的原始相位分布修正白光干涉信号的方法相 比［22］ ，所提方法直接从单色光干涉信号中提取扫描误差 信号来修正白光干涉信号，更加简单易懂。

2　所提方法原理

     图 1 为白光扫描干涉仪的示意图，光源是光谱分 布为 （I σ）的超连续谱激光，σ 为波数，PZT 是压电促动 器，当 PZT 控制参考镜扫描时，相机检测到的干涉信 号可表示为

式中：z 是通过控制器设置的 PZT 的扫描位置；L（z）是 PZT 实际扫描中线性变化的光程差；φ（n z）是由 PZT 非线性运动和环境振动引起的非线性相位噪声；σA是 光源的中心波数。相机与光电二极管受外部时钟信号 和开始触发信号控制实现同步采集，放置在光电二极 管前的带通滤光片的中心波长为 632. 8 nm，带宽为 1 nm，光电二极管采集的信号可认为是单色光干涉 信号：

式中：σP为 1/632. 8 nm−1 。通过 S（p z）可得到包含相位 噪声的扫描路径：

      相位噪声 φ（n z）使白光干涉信号出现畸变，无法从 中 获 得 准 确 的 物 体 表 面 形 貌 。 文 献［21］分 别 使 用 FDA 法和 PCWD 法处理白光干涉信号，对白光干涉 信号进行傅里叶变换得到波数域的相位分布再线性拟 合 ，该 线 性 相 位 可 表 示 为 a0+a1σ，FDA 法 使 用 zs=−a1/4π 计算被测样品的表面形貌，PCWD 法使用 zp=−a1/4π－（a0λA/4π），λA是中心波长。由仿真和实 验结果可知，PCWD 法能有效减小相位误差的影响， 但是该算法并不能完全消除相位误差，所以本文使用 R（z）来 修 正 白 光 干 涉 信 号 ，从 而 进 一 步 提 高 测 量 精度。

     图 2（a）是白光干涉信号修正流程图，通过傅里叶 变换与逆变换从 S（p z）中得到相位分布，根据式（2）处 理相位分布，得到的扫描路径 L（z）+φ（n z）如图 2（b）所 示，使用最小二乘法进行线性拟合后得到 L（z），再从 L （z）+φ（n z）中减去 L（z）得到 φ（n z），图 2（c）中的白光干 涉信号每个采样点沿 z 轴方向移动相应的 φ（n z）来消除 φ（n z），得到的修正后的白光干涉信号 S（r z）的相位项为

      理论上式（4）中 φ（n z）已被完全消除，但文献［23］ 表明，计算误差的存在导致从 S（p z）中得到的 R（z）与 实验中的扫描路径不完全一致，因此 φ（n z）也与其真实 值不完全相同，修正后的白光干涉信号 S（r z）中还存在 一定的相位噪声，所以使用 PCWD 法对 S（r z）进行进 一步的处理，是提高测量精度的必要步骤。

3　仿       真

      使用超连续谱光源的光谱生成的白光干涉信号如 图 3（a）所示。实验中测量到的振动产生的相位噪声 的标准差约为 30 nm，选取平均值为 0 nm 和标准差为 30. 0 nm 的高斯噪声来模拟振动产生的相位噪声，如 图 3（b）所示。使用图 3（c）中幅度为 40. 0 nm 的曲线作 为 PZT 非线性运动产生的相位噪声，生成的白光干涉 信 号 Sc （z）和 单 色 光 干 涉 信 号 Sp （z）如 图 3（d）、（e） 所示。

       对 S（p z）进行傅里叶变换和傅里叶逆变换得到扫 描路径 R（z），通过减去 R（z）中的线性分量得到非线 性相位噪声 φ（n z），如图 4（a）所示。把图 3（d）中的信 号的采样点按照图 4（a）中的 φ（n z）的值逐点位移，得到 修正后的白光干涉信号 S（r z），如图 4（b）所示，修正后 的白光干涉信号较为平滑并且具有稳定的周期。

      为了验证白光干涉信号修正方法是否提高了表面 测量精度，模拟了一次测量中具有不同高度的表面结 构的测量过程，仿真中白光干涉信号的采样间隔 Δz= 40 nm，生成了 100 组白光干涉信号 S（c z），所有白光干 涉信号中加入同一组相位噪声，每组白光干涉信号的 表面位置 z0=n×Δz，n 是 1~100 之间的整数，因此表 面可认为存在 99 个台阶，如图 5（a）所示，台阶高度为40 nm。分别用 FDA 法和 PCWD 法处理 100 组原始白 光干涉信号得到 zs和 zp，把每一组相邻的 zs相减得到 99 组台阶高度，把测量到的台阶高度减去正确的台阶 高度 40 nm 作为一次测量中通过 FDA 法测得的表面 不同位置相对高度的测量误差，对 100 组 zp进行同样 的信号处理，得到一次测量中通过 PCWD 法测得的表 面不同位置相对高度的测量误差，误差分布如图 5（b） 所示。对 100 组原始的白光干涉信号进行信号修正得 到 S（r z），用 FDA 法和 PCWD 法得到表面不同位置相 对高度的测量误差，如图 5（c）所示。原始白光干涉信 号通过 zs和 zp计算的台阶误差的标准差分别为 11. 4 nm 和 2. 1 nm，修正后的白光干涉信号通过 zs和 zp计算的 台阶误差的标准差为 5. 9 nm 和 0. 9 nm，该结果证明了 在一次表面形貌检测中，修正的白光干涉信号对 FDA 法和 PCWD 法的测量精度均有提升，但 PCWD 法可 提供更高的测量精度。

      为了研究白光干涉信号修正方法对多次测量的影 响，在白光干涉信号中加入 100 组平均值为 0 nm、标准 差为 30 nm 的高斯噪声作为相位噪声，选 z0=0 nm 作 为测量表面的位置，原始白光干涉信号和修正后的白光 干涉信号通过 FDA 法和 PCWD 法测得的误差分布如 图 6（a）所示。在 100组不同噪声影响下，从原始的白光 干涉信号得到的 zs 和 zp 的测量误差的标准差分别为

48. 4 nm 和 19. 0 nm，从修正后的白光干涉信号得到的 zs 和 zp的测量误差的标准差分别为 1. 4 nm 和 0. 2 nm，修正后的 zs和 zp的测量误差分别小于原始的 zs和 zp的测 量误差的标准差，这证明了白光干涉信号修正方法对          

于不同分布的相位噪声有较好的抑制能力。修正后的 白光干涉信号通过 zp得到的测量误差更小，证明了在 PCWD 法的基础上加入白光干涉信号修正方法是进 一步提升测量精度的有效方式。

     实际测量中，环境振动的差异会对干涉信号产生 不同幅度的相位噪声，在仿真中加入不同标准差的相 位噪声来验证白光干涉信号修正方法对不同幅度相位 噪声的抑制能力。在 100 组白光干涉信号中加入平均 值为 0 nm、标准差为 10 nm 的高斯噪声作为相位噪声， 计算从原始白光干涉信号和修正后的白光干涉信号中 得到的 zs和 zp的测量误差的标准差，同理，加入标准差 为 20 nm、30 nm、40 nm、50 nm 的高斯噪声，计算 zs和 zp的测量误差的标准差，结果如表 1 所示。在不同标准 差的相位噪声的影响下，修正后的白光干涉信号的 zs 和 zp相比原始的白光干涉信号，测量误差的标准差减 小，这证明白光干涉信号修正法提供了更高的测量精 度。在使用相同的信号处理方法的前提下，随着相位 噪声标准差的增大，测量的误差的标准差随之增大，这 说明通过 PCWD 法和白光干涉信号修正法也不能彻 底消除相位误差的干扰，但是，修正后的白光干涉信号 通过 zp得到的误差的标准差总是最小的，这证明了修 正后的白光干涉信号与 PCWD 法相结合，对不同幅度 的噪声都有较好的抑制能力。

      综上所述，处理原始的白光干涉信号时，PCWD 法的测量精度总是高于 FDA 法，这与本课题组发表文 献的结果相符［21］ 。修正后的白光干涉信号 PCWD 法和 FDA 法的测量精度都有提高，其中，PCWD 法的测 量精度最高，该结果证明了白光干涉信号修正方法能 在 PCWD 法的基础上进一步提高测量精度。

4　实     验

      根据图 1 搭建的干涉测量光路如图 7 所示，选用光 谱范围为 400~1200 nm 的超连续谱光源，参考镜是表 面 起 伏 为 λ/20@633 nm 的 熔 融 石 英 材 质 楔 形 窗 口 （Thorlabs，WW41050），被测样品分别是与参考镜相 同的楔形窗口和熔融石英材质具有 3 μm 台阶高度的 表面，台阶高度的扩展不确定度为 50 nm，高速相机的 像素尺寸为 20 μm，为了增大测量面积和减小数据处 理负担，每隔 5 pixel采集一组白光干涉信号，探测表面 的面积为 5 mm×5 mm，采集的白光干涉信号组数为 50×50，每组白光干涉信号包括 1024 个采样点，外部 时钟频率为 2000 Hz。当被测物体是楔形窗口时，相机 上一个像素点的白光干涉信号如图 8（a）所示，图 8（b）

是光电二极管采集的单色光干涉信号，图 8（c）是从 图 8（b）中得到的相位噪声，使用该相位噪声修正的白 光干涉信号如图 8（d）所示，图 8（a）中的白光干涉信号 不对称且有一定的畸变，与白光干涉信号同步采集的 单色光干涉信号也出现了畸变，这是由图 8（c）所示的 相位噪声导致的。使用该相位噪声修正白光干涉信号后，白光干涉信号已没有明显的畸变，接下来处理所有 像素点采集的白光干涉信号得到表面形貌分布，通过 检测样品的表面起伏、重复率、表面轮廓的均方根 Sq和 最大高度 Sz来评估测量结果。

      图 9（a）、（b）分别为通过 FDA 法和 PCWD 法处理 原始白光干涉信号得到的表面形貌分布，X 和 Y 代表

像素点，图 9（c）、（d）分别为通过 FDA 法和 PCWD 法 处理修正后的白光干涉信号得到的表面形貌分布，根 据 ISO 25178—2∶2021 计算轮廓均方根 Sq和最大高度 Sz来评估测量结果的粗糙度，由于被测样品被认为是 光滑的表面，Sq和 Sz值越小，测量精度越高。表 2 是白 光干涉信号修正前后通过 zs和 zp得到的熔融石英楔形 窗口表面的 Sq和 Sz值，相比于修正前的原始白光干涉 信 号 ，经 过 修 正 后 的 白 光 干 涉 信 号 通 过 FDA 法 和 PCWD 法提供的 Sq和 Sz值降低，但 PCWD 法处理修正 后的白光干涉信号提供的 Sq和 Sz值最小。因此，表面 粗糙度的测量结果证明了白光干涉信号修正方法在 PCWD 法 的 基 础 上 进 一 步 提 高 了 表 面 形 貌 的 测 量 精度。

       为了验证白光干涉信号修正方法在多次检测中的 稳定性，对楔形窗口表面进行了 10次测量，每次测量的 时间间隔为 10 min，前 3次的测量记为 M1、M2和 M3，X= 25时沿 Y 方向的表面起伏如图 10所示，图 10（a）、（b）是 通过 FDA 法和 PCWD 法处理原始白光干涉信号得到 的表面起伏，图 10（c）、（d）是通过 FDA 法和 PCWD 法

处理修正后的白光干涉信号得到的表面起伏，修正后 的白光干涉信号通过 zs和 zp得到的表面起伏相比从原 始白光干涉信号得到的表面起伏要小。取 10 次的表 面测量结果计算重复率，原始白光干涉信号通过 zs和 zp 得到的重复率为 12. 0 nm 和 1. 4 nm，修正后的白光干 涉信号通过 zs和 zp得到的重复率为 8. 3 nm 和 0. 6 nm， 通过 PCWD 法处理修正后的白光干涉信号得到的重 复率最小，所以白光干涉信号修正方法能在 PCWD 法 的基础上进一步提升测量的稳定性。

      被测样品是熔融石英材质且具有 3 μm 台阶高度 的光滑表面，通过 FDA 法和 PCWD 方法处理原始的和 修正后的白光干涉信号得到台阶的表面形貌分布如 图 11 所示，台阶的下表面和上表面的分别为 A 面和 B 面。根据 ISO 5431—1∶2000，选取 A 面和 B 面沿 X 方向距离阶跃位置大于 8 pixel 的位置来计算台阶高 度，因此在 A 面上选取了 X=17 的 50 个像素点和 B 面上 X=34的 50个像素点计算台阶高度的平均值作为高 度的测量结果。图 11（a）、（b）是从原始白光干涉信号 中通过 zs和 zp得到的台阶形貌，测量的台阶高度分别为 2. 6347 μm 和 2. 5971 μm，图 11（c）、（d）是从修正后的 白光干涉信号中通过 zs和 zp得到的台阶形貌，测量的台 阶高度分别为 3. 0366 μm 和 3. 0188 μm，由于台阶高度 范围是［2. 9500 μm，3. 0500 μm］，所以使用 FDA 法和

PCWD 方法处理修正后的白光干涉信号得到的台阶高 度都在误差范围内。对台阶进行 10 次测量，每次测量 间隔 10 min，使用 FDA 法和 PCWD 法处理 10组修正后 的白光干涉信号得到的台阶高度的标准差为 11. 5 nm 和 9. 6 nm。所以在多次测量中，PCWD 法测量的台阶 高度的重复率最小，测量的稳定性更好。

5　结     论 

     提出一种白光干涉信号修正方法来消除由 PZT 非线性运动和环境振动引起的相位噪声。仿真结果表 明，白光干涉信号修正方法可以有效消除相位噪声，使 用 PCWD 法配合白光干涉信号修正方法可得到良好的 测量精度和重复率。实验中楔形窗口表面和台阶高度 的测量结果显示：使用 PCWD 方法处理修正后的白光 干涉信号得到的楔形窗口表面的粗糙度小于 1. 3 nm， 重复率为 0. 6 nm，测量的台阶高度在误差范围内，重 复率为 9. 6 nm，相比信号修正前，测量精度和稳定性 明显提高。因此，白光干涉信号修正方法可在 PCWD 法的基础上进一步消除相位噪声的影响，使白光干涉 仪适应复杂的工作环境。