应用于非本征光纤 Fabry-Perot传感器的自适应 FFT 解调算法特性分析

1　引      言

     非本征光纤 FabryPerot（FP）传感器［1- 2］ 利用光纤 与介质交界面或者镀膜构成微型介质腔，在外界作用 下腔长受到调制，从而改变反射光谱，该传感器具有灵 敏度高、体积小、抗电磁干扰、耐高温和耐腐蚀等优势， 可以应用于压力［3］ 、温度［4］ 、振动［5］ 、位移［6］ 、加速度［7］ 和 气体等多种外界参量的传感。在光纤传感系统相关研 究中，光纤传感解调技术是必不可少的一个部分，是近 年来的研究热点，如贾景善［8］ 提出了一种改进的对称 解调技术，宋宪晨等［9］ 提出基于正交信号融合计算的 相位解调算法，王东平等［10］ 提出了双峰- 干涉级次定位 联合解调算法，这些研究都在一定程度上推动了光纤 解调技术的进一步发展。根据解调原理，光纤传感解 调技术可分为强度解调、相位解调和波长解调三类。 强度解调法通过解调 FP 腔反射光的强度变化获取传 感信息，包括工作点控制法［11］ 、双波长法［12］ 、条纹计数 法［13］ 等，其原理简单，便于实现，但解调精度较低，且 解调结果易受光源波动的影响。相位解调法利用传感器腔长与相位关系进行信号解调，主要包括相位生 成载波法（PGC）［14］ 、路径匹配差分干涉法（PMDI）［15］ 和相移解调法。相位解调法具有解调精度高、解调速 度快、动态范围大和适用于动态信号解调的特点，成为 F- P 传感系统中最常见的解调方法，但存在输出相位 信号不稳定［16］ 、系统抗干扰能力不足、易受外界环境因 素的影响等问题。波长解调则主要是基于白光光谱探 测技术，利用光谱进行腔长解调，对光源强度和传输损 耗并不敏感，具有良好的抗干扰能力。其中，波长跟踪 解调技术由于其操作简单、线性响应等优点，被广泛应 用于 FP 传感器中，但这种方案的精度受限于扫描仪 分辨率，计算复杂，无法满足快速解调的需求。为进一 步简化计算，引入快速傅里叶变换（FFT）对光谱进行 处理，通过检测频谱变化对信号进行解调［17- 20］ ，FFT 具 有算法简单、计算量小等显著优势。但 FFT 本身对频 谱的计算精度较低，往往无法精确识别频谱峰值位置， 在很大程度上限制了解调算法的精度。为了满足高精 度快速解调的算法需求，需要对 FFT 算法进行改进。 王俊杰等［21］ 提出基于 zoomFFT 的解调算法，通过在原有 FFT 频谱分辨率的条件下循环二分细化，不断逼 近频谱峰位置，在一定程度上提高了计算精度，但二分 的次数选择都过于依赖经验，且计算精度和计算速度 之 间 的 矛 盾 难 以 平 衡 。 Yu 等［22］则 提 出 一 种 基 于 Buneman 频 谱 估 计 求 取 频 谱 峰 位 置 的 改 进 方 案 ，该 方案在一定程度上提高了计算精度，但仅依靠实际 峰 附 近 的 两 个 点 来 进 行 数 值 估 计 ，精 度 提 升 有 限 。 值得注意的是，上述两种方案虽然都在一定程度上 提高了 FFT 频谱计算的精度，但都运用于波长解调， 二者的计算较为复杂，精度受限，且难以实现动态信 号解调。Fu［23］ 结合白光光谱探测、FFT 和相位解调 方案的优势，提出一种基于 FFT 的白光相位解调方 案，该方案利用 FFT 求解光谱本征频率，通过对全光 谱数据的累加在本征频率处进行锁相计算，有效提 高了小幅值信号的解调精度，实现了动态信号解调。 但由于 FFT 本身求解本征频率的精度低，且光谱数 据的非周期性导致锁相计算不能充分消除误差，该 方 案 的 解 调 精 度 较 低 、稳 定 性 较 差 等 问 题 仍 有 待 解决。

     本文提出了一种基于白光干涉的自适应 FFT 解 调算法，通过自适应调整光谱采样长度，对本征频率进 行精确计算，并对光谱进行整周期正交锁相相位检测， 从而实现对相位信息的精确提取。该解调方案结合 FFT 算法的高效计算特性和自适应采样长度，在动态 信号解调过程中不仅可以提高解调精度，还规避了腔 长动态变化时传统 FFT 腔长解调法所需要进行的实 时频谱细化过程，在保证快速信号解调的同时，有效提 高了相位解调的精度。仿真分析表明，相较于传统 FFT 算法，自适应 FFT 对本征频率的计算精度提高了 近 10 倍，噪声谱级降低了约 2 dB，噪声谱级随腔长的 波动仅为 1 dB，是传统 FFT 算法的噪声谱级波动幅度 的 1/3，谐波抑制幅度增大了约 20 dB。同时，自适应 FFT 显著降低了解调算法对传感器腔长的要求、减小 了复杂噪声环境的影响，有效解决了基于传统 FFT 算法的相位解调方案解调精度较低、稳定性较差等问题， 在非本征光纤 FP 传感器的低噪声、高精度的动态信 号检测领域具有广阔的应用前景。自适应 FFT 解调 算法还能够精确识别多基元复用下不同腔长传感器对 应的本征频率，这一特性使其有望应用于大规模非本 征光纤 FP 传感阵列的信号解调。

2　基本原理

     光纤非本征 FP 传感器通常以光纤端面作为第一 反射面，以薄膜等作为第二反射面，两侧的端面反射率 较低，干涉过程可以近似为双光束干涉。通常采用光 谱扫描的方式获取非本征 FP 传感器的反射光谱，其 反射光谱在波长域的自由光谱范围（FSR）可表示为 RFS = λ 2 k 2nL0，其 中 λk = λ 0 + k ⋅ dλ，λ 0 为 采 样 窗 口 的 初始波长，dλ 为扫描波长间隔，k 为波数，L0 为 FP 腔 腔长，n 为腔内介质的折射率。由于波长间隔 dλ 是一 个小量，扫描波长范围通常为 1520~1570 nm，在该波 长范围内可近似认为对于不同波长 λk 的光谱，本征频 率不变，则 FP 腔的本征频率 f s0 可表示为

      外界被测参量发生改变，导致非本征光纤 FP 传 感器的腔长发生变化。当腔长改变量 ΔL 较小且满足 ΔL ≪ L0 时，忽略二阶小量的影响，可认为此时本征频 率 f s0 没有发生改变，其反射光谱可以表示为

式中：IDC 和 IAC 分别表示输出反射光谱的直流分量和 交流分量幅值；φ0 = 2πf s0 λ 0 为非本征 FP 传感器的初 始相位；Δφ = 2πf s0 λ 0 ⋅ Δ L/ L 0 为由腔长变化 ΔL 引入的相 位改变量。通过对反射光谱进行 FFT 处理，得到其频 谱峰值对应的频率即本征频率的计算值。

     对式（2）进行离散傅里叶变换，其结果的实部 nCR 和虚部 nSR 分别为

      对于任意周期为 Ns 的正余弦序列 y ( k )，其整周期 之 和 满 足 ∑k = 1 l ⋅ Ns y ( k )= 0，l = 1，2，3，⋯，其 中 Ns 为 整 周 期采样长度。当满足 f = f s0 和 N 无限大或满足 f 为周 期 1/( f s0 ⋅ dλ ) 的 整 数 倍 时 ，式（3）、（4）可转化为仅含cos Δφ 和 sin Δφ 的正交锁相结果。由于采样率的限 制，固定的频谱间隔会使 f s0 的计算精度较低，即 f 略大 于或小于 fs0，且不同条件下的本征频率对应的整周期 采 样 长 度 Ns 并 不 相 同 ，这 导 致 信 号 解 调 相 位 存 在 误差。

     本文提出了一种自适应 FFT 解调算法，其基本思 想是通过自适应调整光谱采样长度，求取采样范围内 最大的整周期数 N max，使其满足整周期条件的同时保 证信号解调噪声谱级不受影响，进而实现对传感信号 的低噪声、高精度、快速信号解调，原理示意图如图 1 所示。

       对[ 1，N ]全部长度数据进行 FFT 计算，将变换结 果中频谱峰值对应频率作为粗略估计的光谱本征频率 f1，并 粗 略 估 计 反 射 光 谱 周 期 对 应 的 采 样 点 数 Ns = 1/( f1 ⋅ dλ )，则 最 大 整 周 期 采 样 点 数 N max 一 定 存 在 于 [ N - Ns，N ] 的区间内，即在图 1 中上面两个实点之 间。令 N1 从 N 开始逐点减小，N2 从 N - Ns 开始逐点 增大，依次利用[ 1，N1 ]区间数据和[ 1，N2 ]区间数据进 行傅里叶变换，并比较光谱本征频率幅值，利用二分查 找法从区间两端开始沿着虚线依次改变 N1 和 N2，搜索 最大值，直至| N1 - N2 |≤ 1，最终得到本征频率幅值最 大时对应的数据点数，即反射光谱对应的最大整数周 期的数据点数 N max，如图 1 中最下面的实点所示。通过 对 [ 1，N max ]范围内的数据进行 FFT 计算，即可得到本 征频率 f s0的精确值，将其代入式（3）、（4），计算可得

由此可得到与 FP 腔相位变化 Δφ 相关的正交三角函 数项，再用反正切算法进行解算并进行高通滤波，即可 得到外界被测信号引起的相位变化为

       根 据 Δφ = 2πf s0 λ 0 ⋅ Δ L /L 0 ，可 以 计 算 得 到 外 界 被 测 信号引起的传感器的腔长变化为

      本文提出的自适应 FFT 算法，可根据实际 FP 腔 的本征频率值自适应选择最佳采样数据长度，获得对 本征频率更准确的估计，同时实现整周期正交锁相计 算，进而有效提高信号解调的精度；同时，对于动态信 号传感的 FP 腔，其腔长变化较小，通常可以忽略本征 频率的变化，只利用一次自适应 FFT 计算便可确定本 征频率和最佳计算点数，这样避免了传统 FFT 腔长解 调法所需要进行的实时频谱细化过程，即仅需要进行 一次光谱本征频率的精确计算，后续可根据实际情况 进行适时修正，这不会带来实时计算量的增加，可满足 动态信号的快速解调要求。

3　数值仿真分析

     为验证自适应 FFT 解调算法用于非本征 FP 传 感器信号解调的性能，本文进行了相应的数值仿真分 析。采用控制变量法分析信号幅值、信号频率、传感器 腔长，以及初始相位对自适应 FFT 解调算法的信号解 调性能的影响。非本征 FP 传感器通常选择空气作为 腔 内 介 质 ，固 定 折 射 率 n=1，设 置 光 谱 波 长 范 围 为 1520~1570 nm，采样点数为 512，信噪比（SNR）设置 为 50 dB 并保持不变，以确保对比仿真在同一光谱下 进 行 。 非 本 征 光 纤 FP 传 感 器 的 腔 长 范 围 一 般 为 200~600 μm，本文选择腔长 L=250 μm 作为仿真参 数，并且将腔长改变量设置为 0.1 μm。同时，为分析解 调算法对低频信号的解调性能，选择 63 Hz 作为信号 频率，具体仿真参数如表 1 所示。分别对其信号解调 范围、本征频率估计精度、信号解调稳定性、腔长变化 适应性和复用阵列叠加光谱的解调性能进行研究，以 全面评估自适应 FFT 的信号解调性能。

3.1　腔长解调范围分析

      在理论分析中，假定非本征光纤 FP 传感器在外 界参量作用下的腔长变化远小于初始腔长，忽略二阶 小量对本征频率的影响。对于大信号的测量，当传感 器的腔长变化较大时，不再满足近似条件，仍然忽略 二阶小量对本征频率的影响会导致解调信号失真。 因此，自适应 FFT 解调算法在不同频率下的最大可解 调信号幅值，可为解调算法的实际应用提供理论依 据。引入基频信号的相对幅值误差 Km和总谐波失真 （THD）来衡量解调算法对相位解调误差和谐波失真抑制能力。基频信号的相对幅值误差作为衡量解调 信 号 幅 值 准 确 性 的 相 关 指 标 ，可 以 表 示 为 K m = 20lg ( A m λ 0 /4πLs )，其中 Am 为被测信号的相位幅值大 小，Ls为被测信号引起的腔长变化，K m 越偏离 0，则信 号失真越严重；THD 定义为所有的附加谐波成分幅 值之和与基频信号幅值之比，反映了信号失真程度。 采用表 1 中 Simulation 1 作为仿真条件，图 2 展示了腔 长变化量 Ls从 0.1 μm 开始逐渐增大直至信号完全失 真 时 基 频 信 号 幅 值 误 差 Km 和 THD 的 仿 真 计 算 结果。

      如图 2（a）所示，随着被测信号引起的腔长变化 Ls 的逐渐增大，基频信号的相对幅值误差 K m 接近 0 且几 乎不变，当腔长变化量 Ls超过 4.81 μm 时，信号出现失 真，达到解调算法的最大可探测信号幅值。同时，从其 放大视图可以看出，自适应 FFT 解调算法的相对幅值 误差 K m 更接近于 0，在较小幅值处的波动远小于 FFT 解调结果，实现更稳定更精确的信号解调，尤其对于微 弱信号，自适应 FFT 解调算法能够实现更精确的信 号解调。如图 2（b）所示，采用自适应 FFT 解调算法 的 THD 低于 FFT 解调算法，尤其是腔长变化量小于 1 μm 时，自适应 FFT 解调算法对谐波的抑制幅度相比 于 FFT 大 20 dB。

       通过进一步认识解调算法在不同频率处的最大可 解调腔长变化量，可以有效评估解调算法的性能，为自 适应 FFT 的实际应用提供理论指导。根据式（6），自 适应 FFT 解调算法采用反正切算法求解解调相位，则 其最大的可解调腔长变化可表示为

式中：φ max 为最大可探测信号的相位；fp为光谱采样频 率；f 为信号频率；LS max 为最大可解调腔长变化。基于 表 1 中 Simulation 2 所示的仿真条件，当采样频率 fp 为5 kHz 时，计算得到不同信号频率下的最大可探测信 号幅值，并与式（8）所示的理论值进行比较。

      如图 3 所示，自适应 FFT 解调算法的最大可解调 腔长改变量与信号频率 f成反比，仿真结果与理论结果 接近。图 3 中圆点+实线表示最大可解调腔长改变量 的理论值与仿真值之间的差异，当频率大于 20 Hz 时， 二者的差异小于 0.5 μm。理论值与仿真值之间的微小 差异也进一步证明了自适应 FFT 解调算法的可行性。

3.2　解调稳定性分析

      初始相位项 φ0 一般为静态量，可以通过高通滤波 的方式消除，但是由于外界环境因素变化和扰动，初始 相位会发生缓慢漂移，导致对动态信号解调时引入额 外的解调误差，降低了解调算法的稳定性。为了研究初始相位慢漂对信号解调的影响，为自适应 FFT 解调 算法的实际应用提供理论基础和指导，采用表 1 中的 Simulation 3 作为仿真条件，分析不同初始相位条件 下，单频正弦信号的解调信号幅值和谐波失真随初始 相位的变化，结果如图 4 所示。

      从图 4（a）可以看出，FFT 解调算法的基频信号相 对幅值误差 K m 随初始相位展现出较大幅度的周期性 变化，波动幅度达到 0.6 dB，比自适应 FFT 解调算法 的波动幅度大 40 倍以上。图 4（b）展示两种解调算法 的 THD 均随初始相位的变化呈现周期性波动，但自适 应 FFT 解调结果的 THD 比 FFT 解调结果低 25 dB 左 右，自适应 FFT 算法展现出了极佳的谐波失真抑制能 力。相比于 FFT 解调算法，自适应 FFT 解调算法具 有更优异的解调稳定性，更精确的解调结果，有效减小 初始相位波动对系统解调稳定性的影响。

3.3　腔长变化对算法性能的影响

       非本征光纤 FP 传感器的腔长较短，通常在 μm 量 级，对其腔长的准确控制是比较困难的，自适应 FFT 解调算法的优点在于具有对任意腔长 FP 腔解调的适 应能力，这对于大规模非本征光纤 FP 传感器阵列的 信号解调具有重要意义。为了验证自适应 FFT 算法 对不同腔长 FP 腔的信号解调能力，本文选择表 1 中 Simulation 4 所示的仿真参数，对腔长在 200~600 μm 范围内变化时的本征频率、本征频率估计误差和解调 相位噪声谱级进行了仿真分析，结果如图 5 所示。

       从图 5（a）中可以看出，对于 FFT 解调算法，受频 谱的计算精度限制，其本征频率估计值 f s0-F 随腔长的 改变呈阶梯状变化，相应的本征频率估计值与理论值之间的差异 Δf s0-F 呈周期性波动；而对于自适应 FFT 解调算法，本征频率估计值 f s0-AF 与理论值 f s0-T 之间的 差异较小，其差值 Δf s0-AF 随腔长的改变而产生的波动范围仅在 10-4 量级，精确度提高了近 10 倍。图 5（b）展 示了不同腔长条件下的噪声谱级，FFT 和自适应 FFT 解调算法的噪声谱级随着腔长的增加均会产生相应的 波动，但 FFT 的波动幅度约为 3.5 dB，而自适应 FFT 解调算法的噪声谱级波动幅度仅在 1 dB 左右。此外， 自 适 应 FFT 的 整 体 噪 声 谱 级 在 -111 dB 以 下 ，较FFT 算法更低，这种变化趋势与图 5（a）中本征频率的 计算误差的表现一致。

      为进一步探究自适应 FFT 解调算法对于不同腔 长的传感器的信号解调性能，选择表 1 中 Simulation 5 的参数进行仿真，得到基频信号的相对幅值误差 K m 与 THD 随传感器腔长的变化，如图 6 所示。

       从图 6（a）可以看出，FFT 算法的解调基频信号的 相对幅值误差波动约为 0.6 dB，是自适应 FFT 算法的 解调基频信号的幅值误差波动的 12 倍。由式（1）可 知，腔长较短时本征频率较低，光谱波长范围内的周期 个数也较少，光谱数据的非整周期性会对锁相计算造 成更大的误差，因此 FFT 解调算法的基频信号相对幅 值误差在腔长较短时的波动尤为剧烈，自适应 FFT 解 调算法则通过自适应调整采样长度来克服这一缺陷， 能够始终保持幅值误差的小幅波动。从图 6（b）可以 看出，FFT 和自适应 FFT 解调算法的 THD 随着腔长 的增加呈现起伏波动，且后者的波动幅度在 15 dB 左 右，远优于 FFT 解调算法。此外，自适应 FFT 解调算 法的 THD 较 FFT 解调算法有 10~20 dB 的改善，进一 步提升了信号解调的稳定性和可靠性。在非本征 FP 传感器的腔长的精确控制较为困难的现实条件下，自 适应 FFT 解调算法具有更优的腔长适应范围，可以实 现对不同腔长的传感器的精确解调，有效降低了非本 征光纤 FP 传感器阵列的腔长一致性要求。

3.4　复用阵列叠加光谱的解调

      由式（1）可知，非本征 FP 传感器反射光谱的本征 频率正比于腔长大小，当 n 个不同腔长的 FP 传感器 的反射光在空间上相互叠加时，叠加光谱将具有 n 个 本征频率。由式（2）可知叠加后的反射光谱可表示为

式 中 ：n 代 表 传 感 器 数 目 ；i 代 表 传 感 器 序 号 ；IDCi 代 表第 i 个传感器输出反射光谱的直流分量幅值；IACi代表第 i 个传感器输出反射光谱的交流分量幅值；f s0i 代表第 i 个传感器的本征频率；φ0i 为第 i 个传感器的初 始相位；Δφi 为施加信号导致的第 i 个传感器的相位改 变量。式（9）表明，叠加光谱可表示为 n 个不同频率的 余弦信号的和，因此在频谱中将会表现出多个峰值，当 传感器之间的腔长相近时，对应的本征频率更加难以 区分，信号相互干扰，复用阵列中的串扰也会更为严 重。为进一步说明自适应 FFT 解调算法对叠加光谱 解调性能的优势，选择表 1 中 Simulation 6 对应的参数 进行仿真。由于常见的传感阵列腔长差在 100 μm 以 内，选择 250 μm 的 FP 传感器 1 和 350 μm 的传感器 2 的叠加光谱进行仿真和解调处理，以体现解调算法对 复用系统的解调能力。同时，为探究低频信号下两传 感器的串扰情况，对传感器 1 施加 63 Hz 的信号并保持 传感器 2 无信号输入。使用基频串扰（FFC）对通道间 的串扰程度进行描述，两个传感器之间的串扰可表示 为 FFC = 20lg ( A m2 /A m1 )，其中 A m1、A m2 分别表示传感 器 1 和 传 感 器 2 解 调 结 果 中 63 Hz 信 号 对 应 的 幅 值 大小。

      图 7 所示为复用系统中传感器 1 和传感器 2 的解 调结果。从图 7（a）中可以明显看出，在施加信号的传 感器 1 中，自适应 FFT 解调算法的结果的幅值更大， 谐波幅值更小，解调结果更为准确。图 7（b）是本身未 施加信号的传感器 2 的解调结果，两种解调算法均无 法完全抑制串扰的产生，但自适应 FFT 解调算法在对 应频率处的峰值被显著抑制。计算该系统的基频串扰 大小，得到 FFT 解调算法结果的 FFC 为-23.5 dB，而自适应 FFT 解调结果中 FFC 则仅为-43.8 dB，串扰减 小了至少 20 dB。这是由于自适应 FFT 解调算法可以 通过动态调整光谱采样长度，有效减小频谱计算时的 展宽量，并分别找到不同腔长传感器对应光谱的最大 整周期数，计算出对应本征频率的精确值。综上所述， 自适应 FFT 解调算法能够克服 FFT 计算频谱精度低 的缺陷，大大提高了解调效率，并进一步减小串扰带来 的不良影响，提高信号解调的精度。

4　结        论

      本文提出了一种白光干涉的自适应快速傅里叶变 换解调算法，并对算法的解调性能进行了仿真分析验 证。该方法根据 FP 传感器的本征频率自适应调整采 样长度，有效提高本征频率的估算精度，实现对周期性 白光光谱的整周期计算，有效减小相位解调算法中的 锁相计算误差，提升解调算法对不同腔长 FP 腔的解 调适应能力和解调稳定性。仿真结果表明，自适应 FFT 解调算法在解调准确性、解调稳定性和腔长适应 范围等方面均优于 FFT 解调算法，可以稳定运用于不 同外界环境下的不同腔长的传感器，可为多种应用场 景下光纤 FP 传感器提供更为可靠和有效的信号解调 方法，能够很好地应用于小型传感器阵列以及高精度、 低噪声的传感器阵列。同时，自适应 FFT 能够精确地 识别频谱上所有峰值对应的频率，有效解调复用阵列 的叠加光谱，减小通道间串扰，这一特性使其有望应用 于大规模非本征光纤 FP 传感阵列的信号解调。