宽频段振动干扰不敏感的白光干涉测量

1  引   言

    表面形貌关系到界面的腐蚀、摩擦、润滑、 密封和光传播等性能，是精密检测重点关注的 项目。白光干涉（又称“相干扫描干涉”）是高精 度表面形貌测量的重要手段，在微纳制造、光学 加工和微电子等领域的应用非常广泛［1-3］ 。白光 干涉通过短相干光源照明确定干涉级次，避免 了单波长干涉的 2π 歧义 ，可用于不连续、高陡 度、粗糙表面的形貌测量。白光干涉测量的核 心 过 程 是 以 特 定 已 知 步 长 对 表 面 进 行 垂 直 扫 描，对采集的白光干涉信号进行相干包络计算 进而确定零级条纹的位置。在扫描过程中，振 动干扰使扫描步长偏离预设值，传统算法无法 精确处理受到干扰的信号，进而导致测量误差 甚至测量失败。振动干扰主要影响两个环节： （1）导致调制度和相位计算误差，影响相干包络 峰值位置提取及相位复原；（2）使步长偏离预设 值，在表面高度重构时直接产生误差。振动干 扰导致的扫描步长误差是随机的、宽频段的，无 法预先探测并补偿。因此，白光干涉仪一般应 用于隔振良好的实验室环境，难以应用于加工 现场或在机测量等存在振动干扰的场合，应用 范围受到很大限制。

     研究人员采用主动式和被动式方法降低振 动干扰对白光干涉测量精度的影响。主动式方 法在白光干涉仪上附加干涉测距光路，检测扫描 步长误差并进行补偿。这类方法使用干涉测距 光路直接探测扫描器的位置变化［4-6］ ，或者构造一 个与白光干涉光路共用的探测干涉光路，并在后 端将白光与探测光分离［7-8］ 。主动式方法的光路 与控制系统复杂，对器件的响应速度和控制性能 要求较高。被动式方法是基于干涉信号相位与 扫描步长的关系，利用算法反求实际的扫描步 长，并对干涉信号进行修正。Schmit 等在假定相 邻干涉图的扫描步长相等但未知（即扫描局部线性）的前提下，采用 Hariharan 算法从干涉图中计 算表面相位，再对相邻表面相位求差计算扫描步 长［9］ ，该方法计算一个步长共需要 6 幅干涉条纹 图（六点法）。基于同样思路，陈磊等采用 Groot 算法计算相位以抑制短相干包络的影响，该方法 计算一个步长共需要 8 幅干涉图（八点法）［10］ 。 受限于所采用的相位算法，上述两种方法只能处 理 π/2 相移（对应 λ/8）小幅偏差的情况，适用于 低频、小幅度干扰的情况。Liu，Zhang 先后提出 了迭代计算求解白光干涉扫描步长的方法［11-12］ ， 该类方法无需扫描局部线性的假设，能够适应快 速 变 化 扰 动 ，但 存 在 计 算 速 度 慢 、错 误 收 敛 的 问题。

     为使白光干涉仪在更宽频段范围内抵抗振 动干扰的影响，需减少被动式算法所采用的干涉 图 数 量 ，本 文 提 出 一 种 三 点 反 正 弦 法（Threepoint Arcsine Method，3P-Asin），利用相邻 3 幅干 涉图计算扫描步长误差，然后通过仿真和实验证 实了该方法的精度和适用性，并分析测试了其抗 振能力。

2    原     理

     在白光干涉中，干涉条纹一个周期的变化对 应于半个波长的纵向扫描步长。基于此关系，三 点反正弦法计算扫描步长的基本思想是，测量过 程中干涉条纹在表面连续移动，根据条纹移动算 出相移量，然后从相移量计算实际扫描步长。白 光干涉信号的光强模型为：

式中：x 是像素空间序号，j 是纵向扫描点序号，A 是背景强度，B 是调制度幅度，h 是表面高度，zj是 纵向扫描高度，L 是光源的相干长度，φ0是反射引 入的相位偏置，波数 k=2π/λ，λ 是等效中心波长。 算法流程如图 1 所示。

2. 1　有效干涉图筛选

     白光干涉测量的扫描过程中，采集的干涉图 序列两端存在一些不含有条纹的干涉图，需要剔 除。一种简单的方法是：采用图像清晰度评价算 子［13］ 分析每一帧干涉图在空间上的灰度变化，如 果总体清晰度小于阈值，则说明此幅干涉图的干 涉条纹不明显，属于无效干涉图。

     首先，为消除背景强度的干扰，取每一像素 纵向数据的灰度平均值，从原始干涉图中减去该 值，得到无背景干涉图：

     然后，采用清晰度算子评价每一帧无背景干 涉图的清晰度，清晰度大于阈值的干涉图认定为 有效干涉图。为适用于不同反射率的表面，本文 采用归一化清晰度进行评价。在扫描范围内等 间隔选取 10 帧无背景干涉图评定其标准差，取最 大值作为参考 S0，计算每一帧无背景干涉图的标 准差 Sj，归一化清晰度为 sj=Sj/S0。经过实际测 试，阈值定为 0. 015，sj>0. 015 的干涉图为有效干 涉图。通过有效干涉图的判断，确定整个扫描范 围出现条纹的区间，记为有效扫描区间。

2. 2　实际扫描步长计算

     扫描步长的计算原理是根据条纹的移动量 反求相位变化，进而得到扫描步长。由于光源相干长度有限，干涉条纹并没有完全覆盖测量视场 的全部区域，但相邻扫描位置的干涉图上条纹覆 盖区域基本不变。因此，计算扫描步长时先对干 涉图进行分组，根据灰度变化记录条纹覆盖的有 效像素点，记为集合 A。

    此处重点描述扫描步长的计算方法。预设 的扫描步长为 λ/8，对应的相移量为 π/2。对干涉 图分组，每 3 帧（j-1，j，j+1）作为一组，如图 2 所 示。令每组干涉图之间的扫描步长、调制度相 同，以第 j 帧干涉图为参考，从式（2）出发，有效像 素点的光强模型可以简化成：

式 中 ：表 面 相 位 φ =2k（zj-h）+ φ0，π/2+ ε = 2kΔj，扫描步长 Δj=zj+1-zj=zj-zj-1，ε 表示本组实 际相移量相对于 π/2 的偏离量，简称相移偏量。 通过三角函数运算可以得到：

      式（4）表明，从三帧相邻干涉图中一个像素 的光强可以解析得到 3 幅干涉图之间的相移偏量 ε。对集合 A 所有有效像素计算的 εj（x）求平均， 作为第 j组的相移偏量，即：

式中 N 为第 j 组有效像素的数量。通过相位与光 程差之间的对应关系，能够得到第 j 组的实际扫 描步长为：

      为保证计算步长的连贯性，相邻两组之间需有两幅干涉图重叠。以第 1 帧有效干涉图为起始 位置，对 Δj累加计算，得到每一帧干涉图的实际 扫描位置 zj。

2. 3　调制度与相位提取

     从白光干涉信号中获得每个像素点的调制 度和相位是表面高度重构的前提。存在干扰时， 白光干涉信号是非等步长采样的，传统的等步长方法不再适用。根据实际得到的扫描步长，用最 小二乘方法计算调制度和相位。对第 j 组坐标 x 的像素点建立优化目标为：

式中 I 是采集的干涉图灰度。采用最小二乘可 得到：

式中：sj+i=-sin（2kΔj+i ），cj+i=cos（2kΔj+i ），求和 符号表示对 i在-1 至 1 范围内求和。计算 x 像素 在第 j帧上的调制度和相位，得到：

     式（7）~式（9）省略了变量 A，B，I，Φ 的像素 序号 x。获得像素 x 在扫描方向上的调制度之 后，取有效扫描区间内调制度最大点的序号，记 为 J（x）。

2. 4　表面高度计算

      得到每个像素最大调制度的序号相当于确 定了干涉零级条纹的纵向位置。为了获得更精 确的表面高度，结合相位信息计算表面高度为：

      与六点法［9］ 、八点法［10］ 相比，三点反正弦法计 算扫描步长具有以下优势：（1）仅对 3 帧干涉图进 行等步长近似，减少了干涉图数量，有利于应对 步长快速变化的情况；（2）相移偏量 ε 是严格解析 计算得到的，处于-π/2~π/2 之间，对应的扫描 步长在 0~λ/4 之间，有效计算范围大。与迭代方 法［11-12］ 相比，三点反正弦法计算过程简单，不需迭 代，不存在不收敛的问题。

3    数值仿真

3. 1　扫描步长的计算精度

     三点反正弦法计算扫描步长的精度，是表面 高度重构精度的保证。

     仿真参数参照实际装置，具体如下：光源中 心波长为 0. 55 μm，光谱宽度为 0. 1 μm，对应的相干长度为 3 μm。测量对象为 5 μm 的台阶。为 保证条纹的连续性，台阶沿垂直交界线方向倾 斜。为模拟实际照明的空间不均匀性，干涉图的 背景和调制度设置为高斯函数分布。预设扫描 步长为 0. 55 μm/8=68. 8 nm。生成图像时在灰 度上加入方差为 2，呈高斯分布的随机白噪声。 分别研究三点反正弦法处理扫描步长存在线性误差、正弦振动和随机误差等干扰因素的情况。

3. 1. 1　线性误差

     线性误差是一种最基本的误差，主要来自低 频干扰和扫描器误差。仿真中，分别以偏离预设 值±50% 的扫描步长生成干涉图，即实际步长分 别为 103. 1，34. 8 nm。分别采用三点反正弦法与 六点法计算扫描步长，计算误差如图 3 所示，统计 标准误差（Root Mean Square Error， RMSE）见表 1。三点反正弦法的计算误差明显小于六点法， 尤其是在对白光干涉扫描至关重要的中间部分。

3. 1. 2　正弦振动

     正弦振动是基础的振动形式。仿真中，分别 在预设扫描步长中加入低频和高频信号模拟振 动干扰。低频振动的归一化频率为 0. 005，幅度 为 1 μm；高频振动的归一化频率为 0. 1，幅度为 40 nm。归一化频率定义为振动频率与干涉图采 集频率之比。计算步长的误差如图 4 和表 1 所 示，两种振动情况下三点反正弦法的计算误差都 要小于六点法。

3. 1. 3　随机误差

     随机误差来源于高频干扰和电子噪声。在 预设扫描步长中增加高斯分布的白噪声，噪声的 标准差为 10 nm。在随机误差干扰下，两种方法 计算的步长误差如图 5 和表 1 所示，三点反正弦 法更有优势。

3. 2　表面高度重构精度

     为研究振动干扰下表面高度的重构效果，对 含有多种干扰误差的情况进行分析。扫描步长 中加入线性误差（+20%）、两种正弦误差（频率 为 0. 005、幅度为 500 nm；频率为 0. 06、幅度为 40 nm）、随机误差（标准差为 3 nm），并模拟阻尼引 起的振动幅度衰减。

    仿真测量高 5 μm 的台阶，共生成 232 幅干涉 图，在生成干涉图时加入灰度噪声（方差为 1）。 由于干扰信号比较复杂，扫描步长远远偏离预设 值 68. 8 nm，并且振动频率和幅值不定，如图 6 所示。采用三点反正弦法得到的扫描步长与真实 值非常接近，其 RMSE 为 2. 1 nm。

     分别采用三点反正弦法、六点法和八点法重 构表面高度，并计算其与真实台阶形貌相减的残 余误差。图 7 给出了平行与垂直于台阶方向的两 条轮廓的残余误差。图 7（a）中，残余误差呈波纹 状分布，这属于存在扫描误差的典型表现。六点 法和八点法的残余误幅度接近，三点反正弦法的 表面误差 RMS 值（3. 1 nm）仅为六点法的 40%。 采用三点反正弦法重构台阶的高度误差为 4. 6 nm，而六点法、八点法分别为 17. 2，16. 5 nm。由 此可见，三点反正弦法对振动干扰的抑制作用更 明显。

      仿真结果表明：（1）三点反正弦方法抑制振 动干扰的效果优于六点法和八点法；（2）在中高 频大幅振动干扰或扫描步长误差较大时，三点反 正弦方法具有明显优势，这与其点数少、有效计 算范围大、无近似误差有关。

4   实     验

     为验证三点反正弦法的有效性，在振动干扰 下实验测量了多种构型的表面形貌。所用的白 光干涉仪安装于未采取隔振措施的光学平台上， 物镜放大倍率为 10×，电子目镜倍率 0. 5×，测量 区域为 1. 7 mm×1. 4 mm。光源为白光 LED，其等 效 中 心 波 长 λ=605 nm，光 谱 的 半 高 宽 Δλ= 110 nm，相干长度 lc=3. 3 μm。预设扫描步长为 69 nm，相机采集干涉图的频率为 50 Hz。压电扫 描器工作于开环模式，行程为 120 μm，标称分辨 率为 2 nm。

4. 1　准确性

     首先，采用一个标准台阶作为测试对象以验 证方法的准确性。台阶的计量高度为（1. 768± 0. 010）μm。测量时，白光干涉仪附近的空气压 缩机处于工作状态，引起高频干扰，同时敲击平 台引入冲击振动。每次测量采集 261 幅干涉图， 其中一幅干涉图如图 8 所示。采用三点反正弦法 计算的扫描步长如图 9 所示，可以看出，受到周围

环境高频噪声的影响，扫描步长随机偏离预设步 长值，同时扫描步长变化也体现了敲击引入的冲 击振动干扰。测量的台阶表面轮廓如图 10 所示。 采 用 三 点 反 正 弦 法 得 到 的 台 阶 高 度 为 1. 770 0 μm，偏离计量值 2. 0 nm，在计量值的不 确定度范围内。台阶上下表面的粗糙度（Sq ）均 为 1. 6 nm。为做比对，采用六点法重构了台阶形 貌 ，其高度为 1. 749 4 nm，台阶面粗糙度为 2. 9 nm。对此台阶重复测量 8 次，得到的高度测量结 果如图 11 所示。可以看出，即使存在振动干扰， 三点反正弦法得到的台阶高度与计量值非常接 近，8 次测量的平均值为 1. 770 2 μm，比计量值偏 大 2. 2 nm。8 次台阶高度测量的 RMSE 为 1. 98 nm。采用六点法得到的台阶平均高度比计量值

偏小 20. 5 nm，其原因是六点法不能适应振动的 快速变化，导致计算的扫描步长偏小（见图 9）。

4. 2　适应性

      由于三点反正弦法计算步长对条纹连续性 有要求，需对其适应性进行实际测试。在振动干 扰情况下对精密、超精密加工中的一些典型表面 进行测量，包括：抛光的陶瓷球表面（曲率半径为 25 mm）、单点金刚石车削的微沟槽表面（沟槽深 度为 6 μm、周期为 100 μm）、磨削的不锈钢表面 （粗糙度为 Sa为 0. 1 μm）、硬质合金刀具车削的钛 合金表面（粗糙度 Sa为 1. 0 μm）。测试对象涉及 金属和非金属材料，表面类型包含平面、曲面和 微结构表面等，基本上涵盖了精密、超精密加工 中常见的表面类型。三点反正弦法能够精确地 从振动干扰的白光干涉图中重构这些工件的表面形貌，如图 12 所示。由此可见，三点反正弦法 能够胜任多种构型的表面形貌测量，具有广泛的 适应性。

4. 3　计算速度

     三点反正弦法仅采用简单的数学运算，不涉 及迭代或优化过程。在算法设计上，像素灰度数 据在帧内并无运算关联，可以采用矩阵并行计 算，提高计算速度。在 8 核 2. 6GHz CPU 的计算 机 上 处 理 上 述 台 阶 测 量 过 程 采 集 的 263 帧 516×614 像素的白光干涉图，三点反正弦法耗时 6. 0 s，与 六 点 法 相 当（6. 7 s），远 少 于 迭 代 法 的 17. 6 s 耗时。

5     抗振动性能分析

5. 1　理论分析

     振动干扰可以分解成简谐基频信号的叠加， 因此主要针对简谐振动进行分析。振动对干涉 测量的影响在于引入扫描步长误差，因而抗振动 性能主要体现在能否准确计算扫描步长。三点 反正弦方法能够计算处于［-π/2，π/2］内的相 位，因此理论上可以计算［-λ/8，λ/8］内的步长 误 差 。 这 是 三 点 反 正 弦 方 法 能 够 应 用 的 边 界 条件。

     假设受到幅度 A、频率 fv的简谐振动干扰，白 光干涉仪在 t1，t2两个时刻连续采集图像的步长误差为：

式中 t0=（t1+t2 ）/2，是两次采样的中心时刻，fs是 相机的帧频。步长误差取决于振动的幅度与频 率，也与采样的时刻有关。考虑采样时刻影响最 大的情况（式（11）的余弦取 1），分成两种情况： （1）中高频振动（fv/fs>1/10）；（2）低频振动（fv/fs≤ 1/10）。对于情况（1），当 fv=（n+1/2）fs时（n 为整 数），Δ =2A，因 此 振 幅 A 应 小 于 λ/16（约 40 nm）。 此 时 ，振 动 的 幅 频 积 P=Afv<（n+1/2） fsλ/16。 n=0 时 约 束 最 严 ，此 时 P< fsλ/32。 对 于 情 况（2），正 弦 函 数 取 一 阶 近 似 ，有 P< fsλ/ 16/π。其他频段振动干扰对三点反正弦法的约 束 处 于 这 两 种 极 端 情 况 之 间 。 取 最 严 格 的 限 制，三点反正弦法能够适应幅频积不大于 fsλ/50 的振动干扰。

     从以上分析可以看出：（1）三点反正弦方法 对抗振动的能力与采样速度、等效波长有关，对 中高频和低频振动的约束基本相同，振动幅频积 应不大于 fsλ/50；（2）振动频率为干涉图采集频率 一半时影响最大，为获得更宽频段的抗干扰效 果，应当提高相机帧频与扫描速度。

5. 2　实验测试

     为测试三点反正弦法对振动干扰的敏感性， 在一系列不同频率和幅度的简谐振动下测量标 准台阶高度，以台阶高度测量误差表征方法的有 效性。台阶的标称高度为 10 μm。白光干涉仪的 相机帧频为 50 Hz。简谐振动依靠压电陶瓷促动 器推动位移台产生。每种振动下测量台阶 16 次， 评定台阶高度，并与无振动干扰的测量高度进行 比较。无振动下测量台阶 16 次，高度平均值为 9. 968 4 μm，标准差为 3. 7 nm。3 种幅度（10，20， 30 nm）在 5~50 Hz 频段内简谐振动干扰下的台 阶高度测量结果如图 13 所示。台阶高度测量误 差随着振动幅度增加而增大。在振动频率为 25 Hz 时，台阶高度存在最大的测量分散性和误差， 此时三点反正弦法最敏感，这与理论分析相符。 振动频率远离 25 Hz 时，测量结果的重复性和准 确度明显提升。台阶高度的测量误差总体在 8% 以内，在 0~10 Hz，40~50 Hz 的频段，测量精度 优于 1%，甚至 0. 5%，后者已经接近白光干涉仪

在实验室环境下的测量精度。为获得更宽频段 的抗振动性能，需要提升扫描速度与帧频，或者采用机械隔振措施对频率为相机帧频一半的振 动进行有效衰减。

6    结    论

     根据白光干涉条纹移动量与扫描步长成正 比的关系，本文提出了对振动干扰不敏感的三点 反正弦方法。该方法能够准确计算扫描步长，可 应对线性误差、宽频段振动、随机误差等因素的 干扰，并对抗幅频积不大于 fsλ/50 的振动干扰，抗 振效果随着扫描速度和相机帧频的增加而提升。三点反正弦法测量高度的准确度优于 0. 5%（台 阶高度为 10 μm），达到纳米量级的重复性，且能 够适应精密、超精密加工中多种加工工艺和材料 的表面形貌测量。三点反正弦法能够应用于加 工现场、原位测量等振动干扰的场景下，对于提 高加工效率和精度具有重要意义。该方法也能 够用于理想环境下的白光干涉测量或修正压电 扫描器的误差。