白光杨氏双缝干涉实验的 ＭＡＴＬＡＢ 仿真

      杨氏双缝干涉是大学物理和光学等课程中的 重要内容,也是最早、最基本、最重要的双光束干 涉实验。 同时,杨氏双缝干涉的深入学习也能够 为后续薄膜干涉、迈克尔逊干涉仪、光的衍射的学 习打下坚实基础[１] 。 然而,光学的理论较为抽 象,实验条件也较为苛刻。 在杨氏双缝干涉实验 中,两束相干光的强度一般极弱,并且实验得到的 干涉条纹通常分布在 １０ ｍｍ 的窄带内,肉眼很难 直接观察。 其次,杨氏双缝干涉实验的理想干涉 现象是在狭缝宽度远小于入射光波长的条件下呈 现的,在课堂教学中也难以实现理想条件,通常在 双缝干涉实验中,实际观察到的是双缝衍射条 纹[２] 。 因此,在实际的课堂教学中很难大范围的 进行实验演示,更多的以讲授为主,采用静态图片 或 ｆｌａｓｈ 演示动画来辅助演示实验现象,亟待教师 探索新的物理教学改革之路[３] 。

      为了让学生能更轻松地掌握难以理解的物理 概念及相关规律,提升学生的科学素养,体现以学生为中心的教育理念,迎合新时代教育教学发展 趋势,在教学环节可适当引入信息技术相关软件, 对学生思维水平和创新能力的培养有着重要的 启示[４-５] 。

      Ｍａｔｌａｂ 是一款面向科学计算、数据可视化分 析以及交互式程序设计的软件,因其计算功能强 大、简单易学、编程效率高等优势,在物理教学中 备受关注[６-８] 。 在大学物理课堂教学过程中使用 Ｍａｔｌａｂ 软件,既可以动态模拟抽象的物理过程,又 可以定性、定量描述复杂的物理规律,切实提升教 学质量与教学效果。 本文运用 Ｍａｔｌａｂ 软件对杨 氏双缝干涉实验进行仿真,其结果不仅可以调节 参数呈现干涉条纹的图样变化规律,还将白光作 为光源观察到双缝干涉后色散的彩色光谱。 在此 基础上,本文还将杨氏双缝干涉的理论拓展到测 量透明介质薄膜折射率的仿真实验中,利用信息 技术实现了在课堂上从理论的学习到应用的过 度,有效提升学生的学习兴趣与科学探究能力,从而达到提高教学效果的目的。

１    杨氏双缝干涉实验原理

     如图 １ 所示,Ｓ１ 和 Ｓ２ 是与 Ｓ 距离相等且相距 为 ｄ 的狭缝。

       光源发出的光透过单缝后,根据惠更斯原理, 狭缝 Ｓ１ 、Ｓ２ 将作为两个次波源向前发射球面波, 因满足频率相同、振动方向相同、相位差恒定,相 遇的光会在叠加处发生干涉现象。 距离双缝 Ｄ 处有一接收屏,此时在接收屏上可以观察到明暗 相间的条纹。 Ｏ 为接收屏的中心,在屏幕上任取 一点 Ｐ,ｘ 为 Ｐ 在接收屏上的坐标。 设狭缝 Ｓ１ 、Ｓ２ 所发出的光单独到达 Ｐ 点的光强分别为 Ｉ１ 、Ｉ２ ,则 Ｐ 点处的光强可表示为

其中,Δφ ＝ ２πδ / λ 为相位差。 设 Ｉ１ ＝ Ｉ２ ＝ Ｉ０ ,则 Ｐ 点处的光强可简化为

式中,δ 是 Ｓ１ 和 Ｓ２ 发出的光波传播到接收屏 Ｐ 点 的光程差,ｒ１ 、ｒ２ 分别为 Ｐ 到 Ｓ１ 、Ｓ２ 的距离。 由几 何关系得

当 Ｄ>>ｄ 且 θ 很小时,ｓｉｎθ≈ｔａｎθ ＝ ｘ / Ｄ,在近似条 件下,由几何关系可得

此时,在近似条件下相邻的两条明(暗)条纹间的 距离可表示为

２    杨氏双缝干涉实验的 Ｍａｔｌａｂ 仿真

      利用 Ｍａｔｌａｂ 中的 ｓｐｅｃｔｒｕｍＲＧＢ( )函数,找到 可见光范围内波长与颜色的对应关系。 当入射光 为单色光时,输入可见光范围内任意波长可自动 匹配相应的颜色;当入射光为白光时,可将白光分 成不同波长(４００~７６０ ｎｍ)的单色光组成的光束, 分别计算并求和。 为了保证仿真实验与真实结果 相符,用(２) 式作为本次计算的主要依据。 将波 长、双缝间距 ｄ、双缝与接收屏间的垂直距离 Ｄ 设 置为可调节参数。 实验中,只需调节参数即可实 时动态观测干涉光谱图或光强分布图的变化。

2.１ 单色光的杨氏双缝干涉仿真及其结果分析

      将实验参数设置为入射光波长 λ ＝ ６００ ｎｍ, 双缝间距 ｄ ＝ １ ｍｍ,缝屏距离 Ｄ＝ １ ｍ,得到的仿真 结果如图 ２( ａ)所示。 仿真干涉条纹图样是由等 间距的明暗相间的条纹组成,明纹的位置为两列 波的干涉相长处,暗纹位置则为两列波的干涉相 消处。 在这里以图 ２(ａ)为参考,采用控制变量法 依次改变双缝间距 ｄ、缝屏距离 Ｄ 以及入射光波 长的大小,探究各个实验参数的变化对干涉效果 的影响。

     首先,将双缝间距 ｄ 减小为 ０.５ ｍｍ,其他参 数条件不变,得到的干涉光谱图如图 ２(ｂ)所示。 观察发现,接收屏上的干涉条纹的间距及周期均 会增加;其次,将缝屏距离 Ｄ 增大到 ２ ｍ,其他参 数条件不变。 观察图 ２(ｃ)发现,接收屏上的干涉 条纹的间距及周期也都呈现增大现象,并且与图 ２(ｂ)中的图样几乎相同。 这是因为,无论是双缝 间距 ｄ 减小,还是缝屏距离 Ｄ 增大都会导致光程 差减小。 最后,减小入射光波长至 λ ＝ ５００ ｎｍ 时, 观察到图 ２(ｄ)中干涉条纹的间距和周期减小的 同时,条纹颜色也随之变化。 这说明入射光波长 的改变使光谱颜色变化的同时还会增大相位差。 可见,Ｍａｔｌａｂ 仿真实验中得到的干涉条纹的变化 情况与上述(７)式中近似计算后的结论相符。

      上述结果验证了该仿真实验中颜色与波长存 在一一对应的函数关系,因此调节参数即可实时 动态观测干涉后的光谱图变化,以达到定性或定 量分析各个物理量对实验结果影响的目的。

２.２ 白光的杨氏双缝干涉仿真及其结果的分析

      图 ３ 是白光的杨氏双缝干涉仿真结果及光强分布图。

      参数的取值分别为:双缝间距 ｄ ＝ １ ｍｍ,缝屏 距离 Ｄ＝ １ ｍ,将光源的波长设置为 ４００ ~ ７６０ ｎｍ 的可见光来模拟白光。 从图 ３(ａ)中可以看出,当 白光经过双缝干涉后,由于不同颜色的光波长不 同,除中央零级条纹外,其他级次的条纹均发生了 明显的色散现象。 在第一级明条纹处可以观察到 按波长由小到大的顺序排列的内紫外线较为完整 的连续光谱。 继续观察第二级条纹已经无法分辨 出橙光和红光,并且随着条纹级次的增加,彩色条 纹的对比度也表现为逐渐下降。

      可以利用干涉后的光强分布图 ３(ｂ)解释上 述情况。 干涉时,白光的干涉条纹可视为不同波 长单色光干涉条纹的非相干叠加,其所含的各种 波长的光各自产生一套条纹,屏上各点的总光强 是各个单色条纹光强之和[９] 。 由于各单色条纹 的宽度因波长不同而各不相同(增大而增大),因 此这些条纹除 ０ 级处重合叠加成亮度最强、对比 度最大的白色条纹外,其他各级间都随级次的增 高而产生越来越大的相对位移。 故此,在第一级 明纹处,还可以将各个波长的光略微分散开来。 从第二级的波长为 ６００ ｎｍ 的橙光开始,其干涉条 纹的光强最大处(ｘ３橙 ＝ ２Ｄλ橙 / ｄ)与波长为 ４００ ｎｍ 的紫光干涉条纹的第三级光强最大处 ( ｘ２紫 ＝ ３Ｄλ紫 / ｄ)完全重合,导致颜色叠加无法分辨。 随 着条纹级次的增加,各单色光干涉条纹的极大值 和极小值交替出现,叠加现象愈发明显,不仅表现 为对比度的下降,光强也逐渐趋于均匀。 观察光强分布图可以发现,在白光的双缝干涉条纹中,并 没有绝对光强为 ０ 的暗纹。

３  利用杨氏双缝干涉原理测量透明 介质薄膜折射率的探究

     如图 ４ 所示,在实验条件(λ＝ ６００ ｎｍ、ｄ ＝ １ ｍｍ、 Ｄ＝ １ ｍ)不变的情况下,用一个透明介质薄膜(折 射率 ｎ ＝ １.５,厚度为 ｈ ＝ ３ μｍ)将上缝遮盖。

      在这个过程中两束光的光程差发生了改变, 其光强的表达式为

其中

根据(２)式和(８)式,对加入薄膜前后的实验进行 仿真模拟,得到的干涉图样如图 ５ 所示。 其中,图 ５(ａ)和图 ５(ｂ)分别为加入玻璃片前后的干涉图 样,图 ５(ｃ)和图 ５(ｄ)分别为对应的光强分布图。 观察发现,明条纹的宽度没有改变,但条纹位置发 生了明显的移动:图 ５(ａ)中明条纹的中心位置在 图 ５(ｂ)中变成暗纹,从光强分布图可以清晰地看 出整个条纹似乎发生了半个周期的平移。

      接下来借助近似条件下的理论计算进行分 析,当上缝被上述透明介质薄膜遮盖后,零级明条 纹光程发生了变化,其上缝因介质薄膜的加入产 生附加光程差,

其中,Ｎ 表示 ０ 级条纹移动的级数,计算后可知,０ 级条纹将向上平移 ｘ′＝ １.５ ｍｍ,Ｎ ＝ ２.５。 因此,加 入透明介质薄膜后的中央明条纹将上移到原来的第三级暗纹处。 但由于单一波长干涉条纹中的零 级明纹与其他级次明纹的宽度和亮度都相同,肉 眼无法分辨。 所以当观察仿真实验的结果时,整 个图像只表现为平移了半个周期。 根据上述实验 现象可知,本次实验中零级明纹的确切移动位置 无法确定,因此应用此方案无法测量透明介质薄 膜的折射率。

      若上述实验条件不变,将单色光改为波长 ４００~７６０ ｎｍ 的白光作为光源,即可利用白光双缝 干涉只有零级干涉条纹为亮白色这一特点来测量 介质薄膜的折射率[１０] 。 如图 ６ 所示,比较图 ６ (ａ)与图 ６(ｂ)或图 ６(ｃ)与图 ６(ｄ)就可以清晰读 出零级亮白色条纹在加入透明介质薄膜前后移动 的距离约为 １.５ ｍｍ。

       由以上分析可知,在实验中可以利用白光的 双缝干涉实验,将已知厚度的透明介质薄膜遮盖 在某一缝处,只要通过实验测出白色零级条纹加 入透明介质薄膜前后移动的距离 ｘ,再结合实验 条件中的双缝间距 ｄ 及双缝与接收屏间的距离 Ｄ 这些已知量,即可得知透明介质薄膜的折射率。

４ 结   论

    许多研究者都曾利用仿真实验模拟双缝干涉 现象,但大部分工作主要研究了单一波长或几种 特定波长的干涉实验,因此存在仿真实验结果完 整性 不 够、 视 觉 效 果 不 佳 等 问 题。 本 文 借 助 Ｍａｔｌａｂ 软件对杨氏双缝干涉实验进行系统且全面 地仿真,在探究干涉图样与各参数之间关系的基础上,还重点研究并分析了以白光作为光源形成 的彩色光谱和光强变化。 整个仿真实验过程能够 让学生迅速建立起印象深刻的认知体系。 随后, 本文还进一步模拟、分析、对比了以单色光和白光 分别作为光源时,利用杨氏双缝干涉测定透明介 质薄膜折射率的结果,借此验证了单色光源在该 实验中的局限性。 此过程能够引导学生将已掌握 的杨氏双缝干涉相关知识迁移到具体应用中,突 出了理论联系实际的教学理念,培养了学生思考、 分析、解决问题能力,激发了学生的学习兴趣和探 究欲望,突破了实验仪器对教学和实验内容拓展、 延伸的限制,启发了学生根据自己的意愿基于计 算机的虚拟现实仿真进行自我的生产和创造。 此 外,本文提出的方法具有一定的普适性,可拓展至 其他光学实验中,例如探索连续可见光的光栅衍射实验等,将在后续工作中进行更为详细的研究。

     最后,应当指出的是,物理学是一门以实验为 基础的学科,物理学的教学过程更离不开实验。 而在实验条件苛刻、调试难度大的实验中,适当应 用计算机技术的虚拟仿真实验,既不受实验仪器 和实验条件的限制,又大大降低了成本,提高了演 示效率,让难点和重点知识得以生动清晰地呈现。 其不仅有助于理解和掌握相关物理规律,还对培 养学生能力、提高学生的学习兴趣和课堂教学效 果有着积极的指导意义。