垂直扫描白光干涉轮廓测量的抗振恢复算法

1   引   言

      垂直扫描白光干涉测量是一种非接触式高精度 表面形貌与结构测量方法，广泛应用于半导体、面板 显示、新能源等制件表面形貌与结构测量中［1 － 2］。 白光干涉测量方法为寻找表面各测量点零光程差位 置作为其对应的高度值，进而实现表面重建。各点 零光程差位置的准确获得，一方面与基于白光干涉信号的零光程差位置提取算法有关，另一方面与干 涉图实际采样位置的准确性相关。由于外界振动、 物镜扫描驱动定位误差等因素的影响，干涉图采样 实际位置与设定步长计算的采样位置存在偏差，导 致零光程差位置误差，影响测量精度。对于此问题 有多种研究，其大致可分为主动补偿和被动补偿。 主动补偿的常用方法是设计独立的探测光路［3］，对 扫描过程中的步长实时监测并反馈控制，或者不予 反馈控制，直接由监测结果得到实际的图像采样位 置［4］。该方法减小了干涉图采样实际位置偏差，有利于保证测量精度，但需要额外的光路或器件，增加 成本且使得仪器更加复杂。被动补偿技术是在存在 振动等因素干扰的情况下采集白光干涉图像，在测 量结束后实施补偿。Schmit J． 等［5］假设扫描步长在 相邻 6 帧内保持恒定，将前后 5 帧干涉图像各自划 分为一组，通过五步相移法计算第 3、4 帧的扫描步 长，进而提取位置偏差，最后通过补偿提高测量精 度，这种被动补偿技术对扫描步长进行了线性假设， 因此只适用于低频误差的补偿。Kaihua C． 等［6］提 出了一种通过提取局部白光干涉图像进行最小二乘 迭代精确提取步长的方法，但提取的有效干涉图像 容易仅含低对比度条纹，进而导致在后续有效区域 的选取中无法选取或者选取白光干涉信号的次级条 纹进行相移量计算，同时存在失真白光干涉信号参 与迭代计算，有效区域的选取易受到图像背景光强 均匀度的影响，引入额外的误差因素。

       本文基于激光相移干涉( PSI) ［7 － 8］测量中最小 二乘精确步长提取算法［9 － 11］，利用白光干涉信号为 单波长干涉信号叠加［12］，在干涉信号峰值区域附近 近似于单波长干涉信号的特点，在整个测量范围内 递进选取不同高度相干区干涉信号。通过干涉质量 评价模型排除失真信号［13］的影响，对所有像素点进 行独立分析，进一步精确地选取有效干涉图像，采用 循环迭代计算的方法，逐次逐点分析提取有效计算 区域，避免了图像不均匀性造成的影响，从而精确提 取局部移相量。最终将局部精确移相量映射到每帧 图像的步长中，获得干涉图像间的实际步距，进而保 证测量精度。

2   基本原理

     白光干涉垂直扫描表面形貌与结构测量原理如 图 1 所示。沿垂直方向扫描，被测表面不同高度的被 测点对应的零光程差位置也会存在区别，两点零光程 差位置的高度差 Z1 － Z2 为两点之间的高度差［14］。

      在白光干涉测量中，被测表面上一点在轴向扫 描图像中的强度可表示为式中，b 为背景光强; f 为条纹对比度; λ 为光源中心 波长; LC 为相干长度; Zp 为轴向扫描位置; h 为被测 表面高度; φ0 为相位偏差。

      在整个测量过程中，Zp 为初始设定值，但由于 测量过程中引入了许多不确定误差［15］，导致 Zp 为 未知量，其不确定性造成被测点零光程差位置的轴 向定位误差，影响测量结果，因此 Zp 为整个测量过 程的关键参数。 

       本文提出基于干涉信号分析的白光干涉垂直扫 描测量中 Zp 求取算法，通过 Zp 进行表面重建，以得 到振动抑制的高精度测量结果。在求取 Zp 过程中， 通过质量干涉评价模型排除失真信号点对 Zp 计算 的影响，根据有效像素点干涉信号峰值所在范围确 定有效扫描图像，采用循环迭代方法，每次计算中将 所有峰值在当前干涉图像范围内的像素点作为有效 计算区域并参与迭代计算以求取局部相移量，最终 通过局部移相量求得整体步长，将精确提取的步长 进行三维表面重建。相应的算法流程图见图 2。

2. 1 确定阶段垂直扫描区域参与相移量计算 的测量点

       为在垂直扫描范围内逐阶段在零光程差附近通 过最小二乘迭代求取阶段相移量，需要确定各阶段 参与最小二乘迭代的干涉信号，规避失真信号点，其 次基于各点干涉信号的峰值区域判断结果，确定用 于阶段移相量提取的测量点信号。

2. 1. 1 规避基于干涉质量评价模型的失真信 号点

      在实际测量中，由于各种干扰因素的影响，采集到的干涉信号会存在局部失真现象，对其处理无意 义，且会在后续进一步计算和表面重建引入额外误 差干扰。为了减少这一干扰因素，提出白光干涉质 量评价模型，以区分测量过程中的有效信号点及失 真信号点。

      通过分析白光干涉信号，不难发现与理想信号 接近的干涉信号其最大值与平均值的比例保持为一 个较高的稳定值，并且远大于无效点的比值。因此 为评价测量区域各点的干涉信号，并提取出本次测 量中的有效点，需量化这一比值关系，其公式为

式中，Imax，Iavg分别是实际干涉信号的最大值和平均 值; k 是评价阈值; ( x，y) 为测量区域内一点。

       通过式( 2) 可得到与测量区域 L 相同大小的二 维二值矩阵 Qm，可用来表示本次测量中有效点和无 效点，成为质量评价矩阵。其中“1”表示为该点实 际测量信号与理想信号相近，为有效点; “0”表示该 店的实际干涉信号为非理想干涉信号，为无效点。 分别提取所有有效点的干涉信号，并记录各点峰值 所在的图像帧数到信号峰值初矩阵 Smi中。

2. 1. 2 参与阶段移相量提取的测量点确定

      提取信号峰值初矩阵 Smi中的最大值及最小值， 为了防止边缘区域像素点干涉信号峰值附近不完整 的情况，设定宽松系数 δ，剔除不含干涉条纹图像或 仅含低对比度干涉条纹图像的公式为

式中，Δl，Δr 分别为信号峰值初矩阵中的最大值及 最小值; Ea 为有效干涉图像对应图像帧数的范围。

       进一步将信号峰值初矩阵 Smi中峰值位于本次 计算范围［Ei，Ei + 5) 内的所有像素点作为该次有效 计算区域，保证在本次计算中有效计算区域参与迭 代计算的区域为最清晰的干涉条纹区域，图 3 所示 中红线表示信号峰值位于该帧图像的像素点，将所 有峰值位于该次测量图像范围内的像素点作为该次 阶段移相量提取的测量点。该次计算范围内的一帧 干涉图像及有效计算区域如图 4 所示。

2. 2 基于最小二乘法的局部移相量提取

      在每组图像中的有效计算区域，可认为有效计 算区域中各点的背景及调制度在该组图像中近似不 变，因此在第 m 组第 n 帧的干涉强度可用中心计算 区域中某像素点的信号表达式为

式中，B，φ 分别为背景光强和相位分布; f，δ 为调制 度波动量和相移量。

       与式( 1) 对照，在每组图像有效计算区域中各 像素点干涉信号高斯函数部分近似为 1，此时近似 为单色光干涉信号。

      有效计算区域中的条纹通常为最清晰的干涉条 纹，因此对每次提取的有效计算区域采用最小二乘 迭代法进行相移量求解，其每次图像的迭代主要包 含两个步骤。

      步骤 ①: 假设每组调制度波动量 fm| n = ∑Im| n ( x，y) /N 及移相量 δm| n = 4π( Zm| n － Zm|1 ) / λ，N 为该组图像有效计算区域点的数量，计算各点 相位分布 φm，基于理论光强与实际光强由最小二乘 法可得

式中，cn = cosδn，sn = sinδn ; m 表示第 m 组图像; n 表 示 m 组中第 n 帧图像。

       求得相位分布为

      步骤②: 根据求得的相位 φ 求解 fm| n，δm| n。在 干涉测量中，强度受移相量的影响更为明显，且有效 计算区域内的点在该组图像中是信号峰值临近点， 为了使迭代更快地达到收敛条件，近似认为有效计 算区域内所有点的调制度 Bm ( x，y) = 1 ［16 － 17］，进一 步由最小二乘法可得

式中，c'm = cosφm，s'm = sinφm ; N 为中心计算区域像 素点数量。

      为了保证测量连续性，每组图像中的有效计算 区域至少包含一个干涉条纹。局部移相量公式为

     调制度波动量的公式为

      得到了当前一次计算的局部移相量，若当前一 次计算范围［Ei，Ei + 5) 仍在有效干涉图像范围内， 则回到 2． 1 节进行下一次有效计算区域的提取，否 则根据局部移相量求取整体步长。

2. 3 根据局部移相量求取整体步长

      提取出每次计算中各帧图像相对于该次计算第 一张图像 Ei 的移相量 δm| n，将相邻图像的移相量求 差，得到第 m 次计算中帧之间的移相量 Δδm|1，Δδm|2 Δδm|3，Δδm|4。每次计算的图像移相量结果存在重叠 情况，为了进一步减小随机性误差，将第 i 帧与第 i + 1 帧之间重复计算的移相量求平均得到 Δδi，如图 5 所示，进而基于式( 8) 移相量和步长的关系，求得 第 i 帧与第 i + 1 帧的扫描步长

2. 4   基于扫描步长进行重建

      在每组干涉图像中，近似认为背景光强和调制 度在各帧中保持不变，因此在第 m 组中的干涉信号 强度可以表示为

式中，二维坐标( x，y) 已省略; Am，Bm，Φm 分别为在 第 m 组中的背景强度，调制度及相位值。

       为了提高计算效率，基于提取的每组图像精确 相移量，利用最小二乘迭代法针对全部有效像素点 求解其在第 m 组的调制度 Bm 和相位值 Φm。由于 每次测量中，测量范围为干涉图像［Ei，Ei + 5) ，每次 测量干涉图像之间存在 4 帧图像重叠，因此第 j 帧 图像像素点的相位值和调制度在各组遍历过程中重 复了 5 次，取平均值作为第 j 帧图像各像素点的相 位值 Φj ( x，y) 和调制度 Bj ( x，y) ，而该像素点在不 同图像上的调制度组成了该点的白光干涉信号的包 络曲线。获得包络曲线后，为了减少直流信号带来 的峰值定位误差并且保证计算速度，基于改进的重 心法求得信号包络峰值位置，进而可确定距包络峰 值最近的一帧图像序号 m，公式为

式中，N 为图像数量。

      累加式( 10) 所得扫描步长，求得每帧干涉图像 的轴向扫描位置为

       结合距包络峰值最近的一帧图像 m 及该帧图 像的相位信息，即可得到表面高度有

3    仿真测试

      为验证该算法的有效性，利用计算机模拟该算 法在振动环境下的三维重建效果。取白光光源中心 波长为0． 55 μm，设定的初始步长为68． 75 nm，被测 表面为单刻线，其高度为 2 μm( 见图 6a) ，为了保证 测量过程中条纹的连续性，给被测物体引入一定的 倾斜，图像分辨率为 200 × 200 pixels。同时，模拟 CCD 的图像传感噪声，对每帧图像添加均值为 0，标 准差为 1 的高斯噪声，其中一帧干涉图像如图 6b 所 示。为了验证算法对振动干扰的抑制效果，在扫描过程中对步长添加不同大小的随机振动误差，并将 步长提取精度和表面重构精度进行对比分析。

3. 1 扫描步长提取误差分析

      在预设步长的基础上，增加了不同幅度范围的 随机振动，采用前述算法对扫描步长进行提取，得到 不同幅度振动下的步长提取误差，如表 1 所示。

      第 4 组实验在模拟随机振动环境下的步长提取 结果对比如图 7 所示。

      仿真实验中，该算法的步长提取误差dＲMS≤0． 5 nm， 因此在振动环境的影响下，该算法具有良好的振动抑制效果，能够得到较高的步长提取精度。

3. 2 表面重构精度分析

      采用精确提取的步长进行表面重构，为了验证 该算法的有效性，在白光干涉测量中使用 Fourier 变 换法［18］进行实验对比。图 8 所示为表 1 中不同程 度干扰环境下两种方法的表面重建误差结果对比。

       由图可知，当处于较大幅度的振动干扰时，Fourier 变换法重建结果误差剧增，而本文所提算法依 旧具有良好的重建精度。

3. 3   测量结果评定

      分别对四组仿真实验单刻线高度测量重建结果 进行对比，每组实验重复测量 8 次，图 9 所示为对单 刻线的最终测量结果。

       Fourier 变换法在第四组实验重建中出现显著 误差，故其测量结果不具有可信度。在低幅振动下， 两种方法测量精度近似，但在高幅振动下，本文所提 方法能够有效地抑制振动误差对测量结果产生的影 响，而 Fourier 变换法测量误差随着幅度增大而增 加。在测量过程中，本文所提方法的最大误差 ＜ 15 nm，而 Fourier 变换法在有效重建结果中最大误差 可以达到 42． 5 nm。

      对测量结果进一步进行重复性计算，由本文所 提方法测量结果重复性标准差为 1． 9 nm，Fourier 变 换法在有效重建结果中的测量重复性标准差为 12. 4 nm，说明该算法在不同的振动环境下具有良好 的稳定性。

4   实验测试

     在装备数值孔径为 0． 4 的 20 × Mirau 干涉物镜 的白光干涉仪上进行振动环境下白光干涉测量实 验。测量对象为 4． 75 μm 的标准单刻线，在样品台 上增加一定倾斜量，以确保干涉条纹在整个测量过 程中一直存在且保持移动状态。将初始步长设定为 50 nm，采用 Fourier 变换法进行对比实验测量，测量 过程中两幅干涉图像如图 10 所示。

     通过干涉质量评价模型提取测量中的有效点， 最终用本文所提算法及 Fourier 变换法重建所得结 果如图 11 所示。

      本算法及 Fourier 变换法对 4． 75 μm 标准单刻 线进行多次重复测量，其均值分别为 4． 749 3 μm 和 4． 801 8 μm，其中本文所提算法的测量结果误 差为 0． 7 nm，符合单刻线标示值，而基于 Fourier 变换法的测量结果明显偏离实际值，测量误差达 到 51． 8 nm，对比实验说明，本方法有更高的测量 精度。进一步对算法的测量重复性进行计算，本 文所提算法对单刻线高度测量的重复性标准差小 于 3 nm。

5    结论

      本文中提出了一种白光干涉抗振算法，该算法 基于白光干涉信号的模型特点，通过循环迭代的方 法提取局部移相量进而求取整体的精确步长。通过 对各点的信号分析，准确地提取了有效干涉图像，使 干涉图像中包含最清晰干涉条纹的同时确保了各像 素点峰值附近信号的完整性。能够良好地提取出每 次计算中的有效计算区域并参与迭代计算，通过质 量干涉评价模型排除了失真信号可能产生的影响， 达到了在振动环境精确提取步长，且测量精度更高， 减少了垂直扫描白光干涉轮廓的测量局限性。