白光干涉测量系统中的相位噪声抑制方法研究

1　引     言

      由 于 具 有 精 度 高 和 非 接 触 等 优 势 ，白 光 干 涉 （WLI）测量技术已成为半导体检测［1］ 、晶圆检测［2- 3］ 、生 物医学检测［4- 5］ 、增材制造［6- 7］ 、航空航天工业制造［8］ 等 领域的重要测量手段。其基本原理是利用压电陶瓷 （PZT）控制干涉物镜以特定间隔移动，从而获取不同 位置的物光与参考光的干涉图像集合，再通过包络分 析算法［9- 11］ 或移相算法［12- 13］ 提取图像集合中的零光程 差位置，即可利用扫描间隔和零光程差位置计算出不 同像素间的相对高度，进而恢复待测样品的表面形貌 信息。在实际测量中，由于迟滞效应，PZT 通常无法 维持等间隔运动，从而引入扫描误差，且测量环境不可 避免地存在扰动因素，可能会引起样品相对白光干涉 测头的位置变化，使得零光程差位置发生漂移［14- 18］ 。 这两类相位噪声会在很大程度上影响采集干涉信号的 包络提取和后续的相位计算精度。

       目前，已有诸多学者对白光干涉测量系统中的相 位噪声抑制方法展开大量研究，并取得一系列成果。 例如，Teale 等［19］ 在迈克耳孙干涉光路中引入激光二极 管，与主光路光束共同传播，其单色干涉信号经光电二 极管检测后用于反馈并控制参考镜位置，以确保 PZT等间隔移动；Kim 等［20］ 在 Mirau 物镜上安装电容传感 器，实时监控扫描过程中 PZT 和物镜间的电容变化， 通过闭环反馈系统实时校正扫描误差；赵远［16］ 在空间 频域法的高度重建中引入相位噪声线性模型和表面高 度修正系数，并基于相位噪声最小二乘估计和无约束 优化迭代搜寻最佳修正系数，以获得精确表面高度，从 而降低相位噪声对测量精度的影响。Ji 等［21］ 从与白光 信号等光程的单色光干涉信号提取出实际扫描位置， 利用其与理论位置的差值移动白光信号采样点，以消 除相位误差，并结合波数域相位补偿法进一步消除测 量误差。Ma 等［22］ 根据波数域的相位响应将相位噪声 建模为随机误差和系统误差的线性组合，结合最小二 乘和两点线性拟合降低随机误差对高度计算的影响。 综上所述，基于反馈系统的相位噪声抑制方法虽然具 有高速、实时处理的特点，但仅考虑了由扫描误差引入 的相位噪声的影响，且引入过多的反馈结构会增加系 统复杂度；基于频域和波数域的处理方法在保证相位 计算精度的同时避免了系统的结构调整，但此类方法 通常依赖于空间频域分析和迭代优化，计算复杂度高， 难以满足高精度实时测量的需求；因此，在不改变白光 干涉测量系统结构且不影响相位计算速度的前提下对 测量相位噪声进行有效抑制，具有非常重要的意义。

      本文提出一种多周期移动差分的相位噪声预处 理方法，通过非迭代最小二乘正弦拟合，从白光干涉 信号推导出信号多周期差分方程，并利用多周期差分 对由相位噪声引起的误差项进行平均抵消。相比于 小波变换等预处理方法，该方法无需额外硬件以及复 杂迭代优化过程，通过多周期移动差分来保证噪声抑 制 效 果 和 计 算 效 率 。 此 外 ，结 合 快 速 傅 里 叶 变 换 （FFT）和改进的七步移相法计算相位，使得相位步进 在 具 有 一 定 系 统 误 差 的 情 况 下 有 效 保 证 相 位 计 算 精度。

2　算法原理

     白光干涉信号呈幅值调制的余弦函数，通过 PZT垂直扫描获得一系列不同光程差位置的干涉图像，得 到离散的白光干涉信号。而在实际应用中受光学系统 缺陷、环境等因素干扰，白光干涉信号存在大量噪声， 此时信号可以描述为 

     式中：z 为沿光轴方向的扫描位置；Ibg 为背景光强；Δφ 为 被 测 相 位 分 布 ；V ( z) = γ exp[(  -4π2 )( z - h) 2/ l c 2 ] 和 φ ( z) =[ 4π ( z - h)/ λ 0 ] 分 别 为 调 制 函 数 和 扫 描 装 置引入的线性相位，γ 为条纹对比度，h 为待测样本高 度，λ 0 为光源中心波长，l c 为光源相干长度；ζ ( z) 为各 类噪声源引入的相位噪声；ε z 为随机加性噪声。用解 析法将式（1）展开，可得：

式 中 ：α ( z) = IbgV ( z){cos [ Δφ + φ( z )]⋅[ cos ζ ( z) - 1] - sin [ Δφ + φ ( z) ] sin ζ ( z) }代 表 由 相 位 噪 声 引 起 的强度变化。在一段总采样帧数为 N 的完整离散采样 序列［I1，I2 ，I3 ，…，IN］中，第 k 帧（k<N）的信号可以用 式（2）的三角公式化简形式表示：

       I k = Ak cos (φk ) - Bk sin (φk ) + Ck + αk + ε k （3） 式 中 ：Ak=IbgVk cos (Δφ)；Bk=IbgVk sin (Δφ)；Ck=Ibg。 若一段离散数据区间［Ik，Ik+1，…，Ik+n ］包含 T 个完整 正弦周期 ，则 Ak、Bk 和 Ck 可以通过线性最小二乘拟 合［23- 25］ 从离散采样数据推导得出：

式中：n 为选取的离散采集数据的数量。从离散区间 提取的拟合信号 I k′可以表述为

       为 了 保 证 相 位 信 息 的 精 确 采 样 以 及 减 少 数 据 的 存 储 负 担 ，PZT 的 扫 描 步 长 通 常 设 置 为 π/2。 结 合式（5），即可得到拟合信号的多周期差分表达式， 如下：

       为了清晰说明式（5）对于由相位噪声引起的强度 变化和随机加性噪声的抑制效果，根据式（2）以及移动 平滑原理，式（6）可以改写为多周期移动差分表达式， 如下：

        假 设 相 位 误 差 ζ ( z) 服 从 均 值 为 0 的 正 态 分 布［26- 27］，当 ζ ( z) 足 够 小 时 ，α ( z) 中 [ cos ζ ( z) - 1] 和 sin ζ ( z) 近似为 0。通过累加与平均，由相位噪声引起 的强度变化和随机加性噪声趋近于 0，即：

则式（7）进一步简化为

        根据式（7），即可快速抑制相位噪声，得到滤波后 的干涉信号 I k′，其流程如图 1（b）所示。

       为 了 精 确 定 位 零 光 程 差 位 置 ，采 用 相 干 峰 检 测 技术与移相法结合的信号解调算法，其基本流程如 图 1（a）所示。具体步骤如下：首先，运用 FFT 提取滤 波后信号的正一级频谱，随后将频谱移至频谱中心进 行逆变换得到包络曲线，在包络峰附近通过抛物线拟 合精确定位包络峰值位置 p。当 PZT 相移存在一定系 统偏差时，引入的相位噪声会干扰零级条纹位置，导致 计算相位背离实际相位。为了消除这种系统偏差的影 响，对 Sandoz 七步定长移相算法［28］ 进一步推导，得到 移相公式为

式中：Ip+i（i=-3，-2，-1，0，1，2，3）为离散干涉 信号在包络峰值位置前后共 7 个采样点处的光强值。 在短区间内认为包络函数缓变。在传统公式基础上， 改进的七步移相公式在非 π/2 条件下有着更高的相位 计算精度，有效消除了残余相移偏差。

      进一步地，利用包络峰值及其对应的相位即可计 算待测的相对高度，其具体的计算表达式为

式中：sstep为 PZT 扫描步进值。

3　仿真结果分析

      设置光源中心波长 λ0=546 nm，相干长度 lc=5 μm， PZT 扫描步长 sstep=68.25 nm。首先，仿真生成一组采 样长度为 100 帧、大小为 100 pixel×100 pixel的白光干 涉 图 像 集 合 。 然 后 ，在 相 同 的 硬 件［i7- 12700H CPU  （Central Processing Unit），16 GB RAM （Random  Access Machine）］和运行软件（MATLAB 2022a）配置 下，采用所提方法（Proposed）、SG（SavitzkyGolay）滤 波器［29］ 、连续小波变换（CWT）法［30］ 和完全自适应经验 模态分解（CEEMDAN）法［31］ 进行滤波预处理，仿真运 算时间分别为 0.01、0.55、5.91、5632.17 s。其中，SG 滤波器和 CWT 法的计算效率主要取决于逐像素处理速度，CEEMDAN 法需要迭代寻找单像素信号的最优 内凛分量，与这些方式相比，所提方法利用矩阵运算和 前向递推策略显著提升计算效率，处理时间最短。

     进一步地，在上述白光干涉仿真信号中加入随机 强度噪声（振幅为 3 nm）和不同程度（范围为 5~50 nm， 间隔为 15 nm）的高斯扫描误差，再分别利用 4 种预处 理方法进行滤波，然后计算反映噪声抑制效果的残余 扫描误差 Δs，其具体的计算公式［27］ 为

式 中 ：φd 为 实 际 相 位 分 布 。 Δs 越 小 ，则 噪 声 抑 制 程 度 越 高 。 表 1 为 所 提 方 法 、SG 滤 波 器 、CWT 法 和 CEEMDAN 法滤波后根据式（12）得出的残余扫描误 差值。由表 1 可得，在相同的随机强度噪声和高斯扫 描误差下，所提方法得出的残余扫描误差 Δs 与其他 3 种方法相比为最小，即噪声抑制效果最佳；随着高斯扫 描误差值增加，4 种方法对应的残余扫描误差 Δs 均增 大，当误差振幅增加至 50 nm 时，其他 3 种方法获得的 残余扫描误差接近仿真加入的高斯扫描误差值，而所 提方法仅为仿真加入误差值的 30%，在一定程度上表 明其在振动环境中对相位噪声的抑制能力及范围。

4　实验结果与分析

     为 了 验 证 所 提 方 法 的 可 行 性 与 有 效 性 ，采 用 Mirau 型白光干涉仪（Atometrics， EX- 230）采集图像 完成实验，其原理光路和实验仪器如图 2 所示。该系 统 采 用 中 心 波 长 为 546 nm 的 LED（Light Emitting  Diode）光 源（CCS Inc， HLV3）作 为 照 明 光 ，通 过 20× Mirau 干涉物镜［数值孔径（NA）为 0.4］产生干 涉条纹。为了获取不同光程差位置的干涉图像，驱动 压电陶瓷 PZT（PI， P- 725.4CDE2）带动干涉物镜垂直 移 动 ，其 行 程 范 围 为 400 μm、定 位 噪 声 为 0.1 nm。 PZT 由数字控制器（PI， E- 754K.1CD）控制 ，在垂直 方向上控制物镜对被测样品进行扫描，不同光程差 的 干 涉 图 像 由 CMOS（Complementary Metal Oxide  Semiconductor）相机（IDS， UI- 3160 CPMGL）捕获， 相机分辨率为 1920 pixel×1200 pixel，帧率为 169 Hz。 整个实验过程中，系统环境参数与标准洁净室保持一 致，扫描步进为 λ0/8，离散数据区间内正弦周期数 T 为 7 ［25］ 。算法于计算机（i7- 12700H CPU，16 GB RAM）内 MATLAB 软件中执行，计算时间取 100 次重复性 运算均值。

4.1   12 μm 标准台阶测量

      为 了 验 证 所 提 方 法 对 相 位 误 差 的 校 正 能 力 和 算 法 精 度 ，采 用 由 德 国 标 准 化 协 会 认 证 的 12 μm ［（11.97±0.05）μm］标准台阶为样品进行测试。设置 PZT 扫描步进为 68.25 nm，纵向扫描距离为 30 μm，采 集帧数为 439帧。实际测量过程中，受 PZT 定位的不确 定性、色散效应以及环境振动影响，白光干涉信号存在 大量噪声且有一定的畸变。实测采集的白光干涉信号 与包裹相位如图 3（a）所示，对应的载波相位分布如 图 3（b）所示。由于上述噪声源的干扰，原始相位分布存 在一定的相位误差，影响后续零光程差位置的定位。

       为了 消 除 上 述 噪 声 源 干 扰 ，将 采 样 数 据 代 入 式（9），移动差分去噪后的干涉信号如图 4（a）所示。 与原信号相比，去噪后的信号具有更线性的相位分布 和更高的信噪比；此外，信号的峰值位置发生偏移，这 种整体相对偏移不影响相对高度的计算。图 4（b）为所提方法对相位噪声的抑制效果，与原始信号相比，相 位 噪 声 PV（PeaktoValley）值 从 0.3780 rad 降 低 至 0.0272 rad，相位噪声抑制率达到 92.8%，处理时间为 4.276 s。

      利用对扫描步进误差具有一定抗性的白光移相和FFT 法相结合的解调算法（FFTWLPSI）［32］ 、频域分 析（FDA）法［33］ 与所提方法进行对比分析，台阶样品的三维形貌及灰线方向的剖面如图 5 所示。由图 5 可以 看出，所提方法提取到的台阶轮廓剖面非常光滑；而FDA 法不适用于大倾斜轮廓样品，平均高度结果存 在较大提取误差；FFTWLPSI 虽可恢复出待测台阶 的 形 貌 轮 廓 ，但 其 剖 面 轮 廓 的 提 取 结 果 存 在 较 多 毛刺。

       根据标准 ISO- 5436- 1，对台阶高度的 10 组重复性 测量结果进行评估，与标称值（11.97±0.05）μm 相比， 三种算法对于台阶高度的提取值、标准差和相对误差 如表 2 所示。其中，所提方法得到均值的相对误差为 最小，重复性误差略逊于 FDA 法；FDA 法虽重复性测 量精度为最优，但相对误差过大。

4.2　内刻蚀槽测量

      采用相同的白光干涉仪器对内部刻蚀槽（标称深 度值为 210.725 nm）样品开展实验研究。实验中，设置 扫描范围为 20 μm，采样帧数为 293 帧，图 6 展示了经过所提方法去噪后的白光干涉信号和相位增量分布对 比，理论的相位增量［图 6（b）绿色虚线］为固定值 π/2， 去 噪 前 后 的 相 位 增 量 的 PV 值 从 0.4980 rad 降 低 至 0.0271 rad，相 位 误 差 抑 制 率 为 94.6%，计 算 时 间 为 2.123 s。

     图 7 给出了所提方法、FDA 法和 FFTWLPSI 提 取 内 刻 蚀 槽 样 品 的 三 维 形 貌 和 剖 面 对 比 。 可 以 看 出，所提方法在强度噪声和相位噪声的影响下提取 得 到 的 样 品 轮 廓 剖 面 非 常 光 滑 ，而 FDA 法 和 FFTWLPSI 受到扫描误差的干扰较大，从而提取的三维 形貌存在较大误差。此外，根据标准 ISO- 5436- 1，对样品高度的 10 组重复性测量结果进行评估，与深度 标 称 值（210.725 nm）相 比 ，三 种 算 法 对 应 刻 蚀 深 度 的提取值、标准差和相对误差如表 3 所示。其中，所 提方法提取刻蚀深度的重复性误差和相对误差均为 最小，进一步验证其对白光干涉测量相位噪声的抑 制作用。

4.3　微透镜样件测量

        对曲率半径标称值为（1.076±0.033） mm 的微透 镜阵列开展测量实验研究。图 8 为上述三种形貌提取算法得出的微透镜三维形貌和单元截面。与所提方法 相比，FFTWLPSI 的提取形貌存在较多凸起和形貌 误差，而且由于白光干涉测量微透镜阵列时会出现横

向色散［34］ ，FDA 法提取的样品形貌出现严重错误。利 用圆周逼近法对微透镜阵列的 10 组重复性测量的曲 率半径进行计算，与标称值（1.076±0.033） mm 相比， 三种算法对应曲率半径的提取值、标准差和相对误差 如 表 4 所 示 。 其 中 ，所 提 方 法 提 取 的 曲 率 半 径 的 重复性误差和相对误差均为最小值，一定程度上验 证 其 在 复 杂 形 貌 提 取 中 具 有 较 好 的 准 确 性 和 可 重 复性。

5　结      论

      提出一种基于多周期移动差分的信号预处理方 法，旨在抑制白光干涉测量系统中的相位噪声对样品 三维形貌提取结果的影响。该方法通过最小二乘拟合 推导出多周期差分滤波方法，结合移动平滑过程来消 除相位噪声，从而有效抑制扫描过程中由机械振动和 环境扰动引起的相位噪声问题。将 FFT 相干峰检测方法与改进的七步移相算法结合并用于零光程差位置 的精确定位，降低残余相位噪声对测量结果的影响。 分别对标准台阶和内部刻蚀槽的表面形貌进行测量， 并将测量结果与常用算法测量结果进行对比。所提方 法 对 两 种 样 品 测 量 得 到 的 高 度 的 相 对 误 差 均 小 于 0.7%，测量精度优于 FDA 法和 FFTWLPSI。两种测 试样品干涉信号的相位噪声抑制率分别为 92.8% 和 94.6%，相位噪声处理时间仅为 4.2764 s 和 2.1235 s，验证了所提方法的有效性，为小幅振动环境中的抗振 测量技术提供新思路。此外，对微透镜阵列的测量结 果表明，所提方法在复杂结构中同样具有较好的准确 性和可重复性。