一种基于卡尔曼滤波的自由曲面扫描测量方法

0    引言

      受限空间的内腔高精度测量是现代装备设计和运行 检测的重要手段，是现代制造业发展的重要基础。然而 在针对自由曲面内腔的测量上，一般存在两种测量方法， 一种是传统的机械测量方法，如气动塞规法等，这类方 法存在着测量误差大，测量时间长以及自动化程度较低 等缺点。另一种方法是采用光学测量的方法，如激光相 位法、激光脉冲法、激光三角法等，测量精度高，适应 性强，自动化程度高，是现在内腔高精度测量的主要发 展方向[1-5]。对于自由曲面的内径测量，受测量对象的限 制要求测量装置的结构小，但是自由曲面导致测量范围大，以必须要用到激光头进行扫描测量。

       此外，在光学测量的过程中往往存在着系统噪声： （1） 由于测量过程中测量仪器存在抖动而产生外界噪声 误差；（2） 激光头测量出来的数据本身存在精度误差； （3） 测量系统因为旋转装置带来的抖动，导致中心位置 存在偏差。

      卡尔曼滤波是一种在变化的数据中去除高斯噪声并 对未来系统进行预测的算法，该算法具有预测性和实时 性的独特优势，它在提高测量数据准确性方面有很多应 用[6-10]。2017年，梁俊元等[8]为了验证卡尔曼滤波在激光 

三角法测量中是可行的，对表面粗糙度不同的两种对象分别进行测量和实验仿真验证，发现卡尔曼滤波算法能 有效的提高传感器采集数据精度。Xiaobin和于佳禾分别 利用自适应卡尔曼滤波技术和标准卡尔曼滤波技术应用 于激光雷达和双飞秒激光的测量上，其中Xiaobin将测量 范围的精度提高了 2 倍，于佳禾将测量的标准差降低了 近一个数量级[9-10]。

       综合上述情况，本文采用了具有非接触、稳定性高、 易与计算机结合等特点的激光位移传感器来测量位移， 并设计了一套基于激光三角测量原理的内径测量系统， 该系统通过扫描测量的方式得到曲面的相关数据信息， 并还原内腔的曲面形貌。本文将卡尔曼滤波应用在新型 自由曲面内径的测量系统上，通过构建蒙特卡洛模拟框 架，模拟了 720 组测量数据结果，再基于测量数据结果 建立一维的卡尔曼滤波模型，利用卡尔曼滤波技术对数 据进行去噪优化处理，在保证精度要求的同时，减小因 随机噪声对系统产生的误差，从而提高测量数据的精度、 提升测量效率。

1    激光三角法的测量原理

      激光位移传感器是一种基于激光三角测量原理[11-12] 的测量仪器。激光三角法将激光器以一定角度将光源投 射在测量物体表面，光束在物体表面进行反射和散射，再通过透镜将反射光汇 聚在光敏元件 CCD 摄像 机上，通过正弦定理可 以由光斑的移动距离计 算出被测距离的偏移距 离。根据测量光路的不 同，一般有直射式和斜 射式两种方式，本文采 用的是斜射式，如图 1 所示。

       图 1 中：γ 为入射角，β 为反射角，φ 为散射光束与 CCD 摄像机之间的夹角，l1为入射点 A 到成像透镜的距 离，l2为成像点 A′到成像透镜的距离，C、D两点分别为 垂足。y为偏移距离，x为光斑在CCD摄像机上产生的偏 移量。

      由三角形相似原理可得：

       则偏移量y的表达式为：

2     内径测量系统的原理与方法以及误差分析

2.1   测量结构与方案设计

       本文研究对象的自由曲面形状如图 2 （a） 主视图所 示，所测自由曲面为一段圆弧形曲面。本文设计测量曲 面内径的定心测量装置的结构如图2所示。

       定心测量装置由激光位移传感器、调节悬臂、联轴 器、旋转布进电机、旋转编码器、定轴轮组、器件保护 罩和升降台等几部分组成。联轴器前端与调节悬臂配合， 调节悬臂上有微调旋钮，用于精细调节。联轴器和升降 台两侧装有定轴轮组，用于保证测量系统与待测管道的 轴线平行，其中定轴轮组由 4 根末端装有滚动齿轮的伸 缩承重杆组成。当测量装置通过拉机进入到管道指定位 置后，定轴轮组由电机控制同时进行伸缩，直至滚轮与 两侧的管道内壁精密贴合。固定在底座的升降台可带动 测量装置的整体上下偏移，定轴轮组配合升降台的上 下移动，避免在测量的过程中产生倾斜、滑动、偏移 等现象。

      激光位移传感器作为该测量装置中唯一测量数据的 光电器件，决定了后续测量圆弧的半径值是否准确。 旋转测量装置如图 3 所示。选用激光头的基准距离为 25 mm，测量范围为25 mm，旋转电机中心和激光头的距 离为 29 mm，旋转测量装置结构如图 4 所示，轮廓测量 精度为±0.02 mm，空间分辨率为3 200点/周转率。

2.2    测量原理

        该系统的测量原理是通过数学计算的方法寻找所测 弧面圆心，使激光位移传感器达到测量弧面半径的目的。 首先通过定轴轮组使旋转电机轴心与弧面圆心处于同一 轴线上，再通过控制升降台偏移的方式，将电机旋转的 轴心与所测弧面圆心进行重合。此时激光位移传感器所 测量出来的值即为弧面的半径值。

       其中 O2为管道弧面的轴心，O1为电机旋转的轴心， r1为电机轴心到激光测距传感器之间的距离，可以直接 通过调节悬臂读出，E 点为测量装置初始测量的点。由 原理图可知，E 点为过 O1O2连线的点，测量值为 mi ，F 为截面上任意的一个测量点，测量值为 mi+n，nθ 为 E 点 到 F 点的转动角度值，可通过旋转电机控制，数值可直 接读出，α为△FO1O2的内角，如图5所示。

       由测量方案可知，E 点为初始测量的点，也即相对 于基准地面竖直向上测量的点，将所有激光传感器测量 的数据分析易知，E 点的值为所有弦长测量最小的值， 假设管道圆弧半径为d：

       再通过控制旋转步进电机，旋转固定角度 nθ 后测 量，此时测量值为mi+n，则：

式中：O2E长度为d；O1F = mi + n + r1 。                                            

       联立式 （4） ~ （5） 求得d和O1O2的值。此时激光器 旋转电机的轴心需要偏移的距离为O1O2。

2.3    误差分析

        激光旋转测量中的转动、定位偏差对测量结果带来 的影响是不可避免的。对误差的来源进行定性分析可以 有效地减小误差，提高测量精度[13-14]，对误差的来源分 析如下。

     （1） 测量设备带来的误差

       此类误差包括激光位移传感器本身由于制造工艺带 来的误差、测量装置安装带来的误差、测量装置老化和 磨损带来的误差、装置测量过程电机抖动带来的误差。

     （2） 测量环境带来的误差

       在测量的过程中，被测对象的内腔环境也会对测量 系统带来误差。可细分为被测对象的内壁光滑程度、被 测对象的表面倾斜度和粗糙度、以及在测量过程中外界 是否存在电磁的干扰等因素。

    （3） 测量方法以及人工带来的误差

       旋转测量中由于旋转电机的步距角不可能无限小， 导致采集的数据结果是有限的，数据的精度也会由于采 集数据的限制而产生误差。在对测量装备的安装时，需 要人工对设备进行调试和安装，这些人工操作也会产生 人工误差。

      对于系统产生的误差，其表现都是通过最终的测量 数据结果表现出来，通常可以在测量之后通过建立误差 模型的方法来利用软件和算法对误差进行补偿，从而减 小这些误差带来的影响，达到提高测量精度的目的。

3   标准卡尔曼滤波技术的测距方法建立

3.1   模型的建立

       为了减小在激光测量过程中误差对测量结果的影响， 建立基于标准卡尔曼滤波技术的自由曲面测量系统的误 差模型。本文直接从传感器的测量数据结果入手，建立 误差模型如下：

式中：ZK为系统观测量，即 K 时刻传感器的测量值；H 为观测方程的参数矩阵；XK为实际的位移值；VK为 K 时 刻的测量噪声。

       由于测距实验系统中的观测数据仅为距离信息，是 一个一维的离散控制过程的系统，所以系统的参数矩阵 H为1。

3.2    卡尔曼滤波方法的实现

       为了对传感器的测量数据结果进行去噪处理，将式 （6） 中模型建立的观测方程应用于卡尔曼滤波，卡尔曼 滤波的迭代更新方程如式 （7） ~ （11） 所示。

       其中预测和估计分别用顶标~和^来表示。式 （7） 表 示由 K-1 时刻的最优估计值来预测 K 时刻的结果，由于 没有控制量的输入，所以 UK-1为 0；式 （8） 表示由 K-1 时刻的协方差矩阵 PK - 1预测 K时刻的协方差 PK，Q为测 量的过程噪声；式 （9） 表示对卡尔曼增益KK的计算，R 为 K 时刻的测量噪声；式 （10） 表示用观测信息对 K 时 刻的估计结果进行修正，得到 K 时刻的最优估计值；式（11） 表示对误差协方差的更新。式 （7） ~ （11） 完成 了从上一时刻到下一时刻的迭代运算，同时式 （8）、式 （11） 保证了滤波算法的持续性和递归性。

4     测距模拟实验以及仿真结果分析

4.1   蒙特卡洛法的模拟仿真步骤

       蒙特卡洛模拟法 （Monte Carlo simulation） 是一种以 概率统计理论为指导的数值计算方法，其广泛应用于数 学、物理和日常工程等方面的问题求解中[15-16]。该方法 可以通过参数化信息来进行大量的数据模拟，得出所需 解决对象的模拟统计结果。用仿形测量建立了标准的被 测对象形状信息，本文所研究的对象为激光位移传感器 测量得到的半径值，所以通过建立噪声偏差范围来模拟 测量半径的数据结果。

      量半径的数据结果。 蒙特卡洛算法用于实现激光位移传感器的测量范围 模拟实验，范围模拟的流程如图 6 所示。仿真实验过程 如下。

     令电机旋转中心的偏差轨迹为:以原点 （0，0） 为圆 心，半径为 0.02 mm 的圆内。测量系统做 360°旋转采集 管道内径数据，电机旋转的步距角为 θ，在设定的中心 点偏移范围随机投放点为360/θ个点，作为电机运动的中 心点位置，根据每个变化后的中心点可以得到相应的传 感器测量的管道圆弧半径值，重复多次，即可得到多个 内径值。

     首先，计算出标准圆上每个旋转步距角的极坐标点， 如式 （12） 所示。

      R为待测管道圆弧的标准半径；n为转到的第几个步 距角；θ 为步距角；（Xn，Yn ） 为第 n 个步距角的标准圆 上的点的坐标值。

     然后计算每个旋转步距角的标准圆上的点的坐标值 与相应投放点的距离，得到所测得的半径值。

式中：（X0，Y0 ） 为投放点坐标值；（Xn，Yn ） 为第n个步 距角的标准圆上的点的坐标值；d为两座表之间的距离， 即半径值。

       用蒙特卡洛模拟法将旋转电机的中心随机投放在设 定的范围内，分为以下几个步骤，如图6所示。

4.2    模拟测距仿真结果

       本次仿真，设待测管道标准内径值为 68 mm，旋转 步距角为 0.5 °，可得到的激光位移传感器的测量次数为 720次，即模拟的样本数量为 720个，投放 720个随机中 心点到半径为0.02 mm的圆的偏移范围内 （此0.02 mm的 偏差范围即我们模拟激光位移测距仪的精度范围），将这 些点当做旋转电机的中心点。如图7所示。

       再通过仿真模拟，得到每个中心点生成的半径值数 据 如 图 8 所 示 ， 可 以 得 出 这 720 组 数 据 的 平 均 值 为 68.000 518 mm，数据的标准差为0.010 307 mm。

4.3    基于卡尔曼滤波的实验结果分析

       由蒙特卡洛模拟框架得到的数据是一组离散的数据， 由卡尔曼滤波的推演算法可以知道，此算法为一个递推 算法，根据得到的数据就可以进行滤波的处理，但是在进行滤波处理前需要设置初值 X （0），测量噪声 R 和过 程噪声 Q。X （0） 的数据通常设置为第一组数据的值， 测量噪声 R 的值是测量系统本身的观测量，可由原始数 据的方差给出，过程噪声 Q 为经验值，是根据滤波后最 优状态估计值的准确程度及滤波去噪效果的好坏主观给 出。而在实际应用中，可以通过大量的数据采集以及在 MATLAB 平台上的仿真分析，对 Q 和 R 的值进行选取， 来达到滤波收敛和去噪的最佳效果。

      仿真模拟半径值的实验数据未经滤波处理和滤波 处理后的结果如图 9 所示，表 1 列出了对于图 9 不同参 数的卡尔曼滤波的处理结果。由表可知，经过卡尔曼 滤波算法处理后的结果，测量得到的平均值变化不大， 但是标准差和极差都减小了近 50%，可以看出测距结 果精度有着明显的提升。由仿真模拟得到的原始数据 可知，半径值的波动范围为 67.98 mm 到 68.02 mm，数 据的平均值为 68.000 518 mm，标准差为 0.010 307 mm， 方差为 0.000 106 mm，极差为 0.039 609 mm。当假设 Q = 1×10-6 mm 时 ， 经 过 滤 波 处 理 后 ， 数 据 的 平 均 值 为 68.000 565 mm， 标 准 差 为 0.002 230 mm， 极 差 为 0.012 500 mm。由图9和表1的结果不难看出，经过卡尔 曼滤波处理后的数据，范围的平均值变化没有很明显， 但是标准差和极差的变化是比较明显的，它表明卡尔曼 滤波算法对距离结果的准确程度的影响仅为 0.01 µm， 但是对于方差较大的数据误差具有很好的过滤效果，能够 将数据的精度范围提高近50%。如此表明本文涉及的卡尔 曼滤波算法对于提高传感器的数据精度具有明显的效果。

5    结束语

      本文针对在受限空间的内腔高精度测量过程中存在 测量方法困难、测量数据结果难以到达测量精度要求等 问题，基于三角测量法的测量原理，设计了一套应用于曲面内径的测量系统，采用几何定心的方法将旋转测量 的中心点与被测弧面圆心重合。通过分析自由曲面内径 的测量过程，得出影响其测量精度的因素，提出了一种 基于卡尔曼滤波器技术对测量数据进行滤波处理的方法。 在 MATLAB 中进行距离测量的仿真模拟实验，实验结果 表明卡尔曼滤波技术能将测量数据的精度范围提高近 50%，对于测量过程中的系统噪声具有明显的滤除效果， 能有效地提高激光位移传感器的测量精度，验证了该方 法的可行性，可应用在高精度的工程测量中。