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基于非线性拟合的激光三角位移传感器标定方法１ 引 言 近年来，以激光三角法为代表的光电测量技术 在几何量测量领域得到广泛应用。基于激光的测量 传感器以光电转换器件为桥梁，通过将光信号转换 为电信号并进行处理与分析，间接得出被测量的微 小变化［１］。其灵敏度高、重量轻、尺寸 小、抗 电 磁 干 扰性强，是传统接触式测量的有效替代。 本文研究的激光三角传感器以位置敏感器件 （ＰＳＤ）作为光电位置探测器。其优势在于输出仅与 光斑重心位置有关，与光斑的形状、强度无关。对于 仅需获得位置信息的应用场景，ＰＳＤ 对比其他分立 元素探测器（如 ＣＣＤ［２］）具有测速快、灵敏度高及位 置分辨率高等优势。但 ＰＳＤ的输出特性为非线性， 且输出信号微小，后续信号放大电路的噪声影响不 可忽略。同时，环境光或实际应用条件的影响可能 导致光斑强度分布不均，从而影响 ＰＳＤ 的位置识别 精度［３］。因此，对该传感器信号的处理和定位标定 成为其应用的关键［４］。 为减小 ＰＳＤ 非线性误差并对随机干扰做出 相 应补偿，国内外学者进行了大量研究并提出了多种 解决方案。其 中，针 对 ＰＳＤ 的 组 成 结 构 和 测 量 原 理［５］，Ｋｕｒａｋａｄｏ等［６］通过对 ＰＳＤ 进行改良，开发了 一种相比传统半导体探测器能量分辨率更高的位置 敏感超导体探测器；Ｊａｖａｄｉ等［７］对 ＰＳＤ 的混合结构 进行 了 改 进，提 高 了 传 感 器 灵 敏 度。很 多 文 献，如 Ｄａｓ等［８］也 通 过 改 进 ＰＳＤ 硬 件 结 构 实 现 测 量 误 差 的补偿。但结构或工艺上的改进只能在一定程度上 改善 ＰＳＤ 的 线 性 程 度，并不能完全减小非线性误 差，软件上的处理方法是进一步提高定位精度的必 要方法。 针对 ＰＳＤ 的误差来源，Ｑｕ等［９］提 出 了 一 种 基 于遗传算法的静态电压差补法，提高了 ＰＳＤ 在像光 密度微弱的条 件 下 定 位 精 度。但 ＰＳＤ 激 光 位 移 传 感器有多种误差来源，如陈浩等［１０］在研究中分析了 粗糙表面散射 特 性 对 ＰＳＤ 测 量 精 度 的 影 响。针 对 其中一种来源而忽略其他方面的因素仍无法进一步 提高精度。一 些 学 者 通 过 设 计 神 经 网 络 进 行 ＰＳＤ 测量数据的处 理 来 实 现 ＰＳＤ 的 非 线 性 校 正。刘 春 等［１１］使用遗传算法和神经网络结合的 ＧＡ－ＬＭ－ＢＰ 模型（采用遗传算法对列文伯格算法优化下的 ＢＰ 神经网络进行改进）对 ＰＳＤ 进 行 非 线 性 校 正，克 服 了传统反 向 传 播（ＢＰ）网络对初始权阈值的依赖。 徐聪等［１２］提 出 了 一 种 基 于 模 糊 神 经 网 络 的 ＰＳＤ非线性修 正 方 法，模糊神经网络用于 建立光点位 置信号和 位 置 坐 标 之 间 的 映 射，有 效 减 小 了 ＰＳＤ 非线性误差。但神 经 网 络 方 法 通 常 是 非 完 全 解 析 的，对于不能达到处理精度的数据无 法提供有效 的解决办法，在实 际 使 用 过 程 中，若 初 始 训 练 数 据 集较少，则 会 引 起 过 拟 合，若 数 据 量 太 大，则 会 导 致计算 量 大、效 率 低，因 此 在 处 理 效 果 上 并 不 出 众。有学者采用数据拟合 方 法 对 ＰＳＤ 数 据 进 行 标 定，王静仪等［１３］提出了改进双三次 插 值 法，适 用 于 ＰＳＤ的离散 标 定 中 出 现 的 非 均 匀 网 络，取 得 了 较 好的校正 效 果。Ｖｏ等［１４］提出了一种改进多项式 拟合方法，使微位移测量在更大线性 测量范围内 具有更有效的灵 敏 度。数 据 拟 合 方 法 保 证 了 处 理 过程的解 析 性，但对初始数据的预处 理有较高的 要求，因此，通常设 计 合 适 的 预 处 理 算 法 是 进 行 拟 合的必要前提。 本文提出了一种多元自适应卡尔曼和非均匀 Ｂ 样条曲线拟合相结 合 的 新 型 ＰＳＤ 激 光 三 角 位 移 传 感器标定方法。标定的硬件系统采用激光干涉仪作 为标定基准，获取被测位移的真实值。软件上根据 曲线拟合算法的需求，设计了一种多元自适应卡尔 曼预处理算法，通过计算基函数和节点矢量，构建了 Ｂ样条曲线拟合模型，最后在实 际 工 况 下 进 行 测 量 实验，证明了标定方法的有效性。 ２ 激光三角法位移测量原理分析 ２．１ 激光三角法测量原理 按照入射激光与被测平面的角度关系，激光三 角法可分为直射式和斜射式两种。图１（ａ）为 直 射 式激光三角测量光路图，测量系统主要由激光器、接 收透镜、光电位置探测器（本文使用 ＰＳＤ）以及信号 处理单元 组 成，其空间位置关系满足 Ｓｃｈｅｉｍｐｆｌｕｇ 条件［１５］，即 ＰＳＤ 所 在 平 面 和 透 镜 所 在 平 面 的 交 线 同入射光束轴线相交且垂直。 由于激光三角法设计条件的限制，量程内各位 置的灵敏度并不一致，根据三角法的几何关系可知： 进而得 出 ＰＳＤ 检 测 位 移 Δｙ 随 被 测 物 面 位 移 Δｘ 的变化公式，其函数大致图像如图１（ｂ）所示。 由此可见，相对靠近激光器的物面移动的微小位 移具有更高的灵敏度，但与此同时，光斑也拥有更大 的截面面积。因此，环境光干扰以及激光的不稳定性 会引起光斑强度重心发生波动，从而对 ＰＳＤ 的定位 带来干扰。这种不稳定性来源于外界环境和激光器 的工作状态，相比暗电流和物面在径向上产生角度的 偏差，更难以使用解析的方法消除。因此，除优化硬 件电路设计外，采用软件上的数据处理也是必要的。 ２．２ ＰＳＤ测量原理 采用型 号 为 Ｓ４５８４－０６的 一 维 ＰＳＤ 探 测 器，光 敏面尺寸为１ｍｍ×３．５ ｍｍ，内 部 阻 抗 为１４０ｋΩ， 光谱响应范围为３２０～１１００ｎｍ。 ＰＳＤ是一种基于 Ｐ－Ｎ 结的横向光电效应器件， 如图２（ａ）所示，在ＰＳＤ电阻层的两端放置有一对电 极，光斑驱动分流层产生电荷，通过计算两电极电流 信号的比例确定入射光的位置。当光斑照射在光敏 面上时，分流层上各处产生与光斑强度成正比的电 荷，远离光斑点流向最近的电极，产生的电流大小与 光斑重心到该电极的距离成反比。 ＰＳＤ探测器在实际使用中，其有效量程的边缘 区域具有较大的非线性测量误差，这与光敏面阻性 不均和边缘效应等因素有关，非线性特性的误差示 例如图２（ｂ）所 示。传感器的非线性误差是影响重 复测量精度的关键因素。 ３ 基于非均匀Ｂ样条的曲线拟合算法 在传统的应用中，曲线拟合致力于对物体真实 形状的还原［１６］。孙聪等［１７］在进行非均匀有理 Ｂ样 条曲线（ＮＵＲＢＳ）拟合研究中认为，只有全局差值的 方法对初始离散数据点进行拟合才能精确地还原真 实曲线。而在 ＰＳＤ等光学探测器的数据标定中，传 统的直线拟合已无法更精确地校准传感器，曲线拟 合更多的是为了突破直线拟合在进行非线性补偿时 的瓶颈。因此，通过曲线拟合的方法进行标定应保 证拟合曲线在整体形状上的逼近，并且忽略在个别弯曲点处的逼近误差。若允许的逼近误差过小，则 拟合曲线变成许多小线段，导致数据过拟合。 Ｂ样条曲线拟合［１８－１９］是一种具有局部支承性质 的方法，在保留贝塞尔曲线表示自由型曲线曲面优 势的同时，克服其由于整体表示带来的不具有局部 性质的缺点，解决了在描述复杂形状时带来的连接 问题。但在实际应用中，由于像斑能量重心的波动， 以及 ＰＳＤ信号处理电路的暗电流噪声的存在，初始 离散数据含有尖点等不适于参与拟合的段落，直接 拟合会造成结果不能一一对应，因此数据的预处理 是拟合工作前的必要过程。本文基于卡尔曼滤波模型，结合 Ｂ 样条曲线拟合的特 点，设 计 了 一 种 多 元 自适应卡尔曼预处理算法。 ３．１ 多元自适应卡尔曼预处理算法 标准的卡尔曼滤波算法对线性系统的滤波能力 较强，但在激光位移传 感器数据的处理中应用受 限［２０－２２］，原因总结为以下两点： １）标准卡尔曼滤波无法完成激光位移传感器 不同位置数据的连续滤波。传感器量程内的不同采 样点具有不同的观测误差，如图３所示，传感器量程 边缘区域的重复测量数据方差较大，需要在不同位 置选取不同的观测误差才能实现连续滤波，从而保 证滤波效率。 ２）标准卡尔曼滤波无法进行数据的整体滤波。 由图１可知，激光三角法测量特性曲线为非线性，考 虑到 ＰＳＤ非线性测量误差，即使在很小的测量范围 内也并非完全线性，因此标准卡尔曼滤波不再适用。 在测量时，考虑光斑在光敏面中心区域具有相 对良好的线性度，受微分思想的启发，采用一种局部 近似线性估计 的 思 想，如 图４所 示。ｋ 时 刻 状 态 的 最优估计由初始 数 据 与ｋ－１、ｋ－２时 刻 的 状 态 共 同决定，故称其为“多元”；假设连续三个时刻的状态 呈线性排布，如图４所示的状态②为前两个时刻的 线性估计，故称其为“局部近似线性估计”。将数据 集按中心点划分为两部分，并分别从中心向两端进行数据的处理。 以 其 中 一 部 分 为 例，设 ＰＳＤ 采 集 数 据 为 ［Ｘｍ×ｎ ｋ ，ｒｋ］，其中 Ｘｍ×ｎ ｋ 表示 ＰＳＤ 重复测量数据；ｒｋ 表示干涉仪测量数据；ｋ＝０，１，…，ｍ，为间隔采样标 识（ｋ＝０时光斑位于 ＰＳＤ 中心）。利用传统卡尔曼 滤波对ｋ＝０、ｋ＝１时刻进行处理，得到重复数据滤 波结果 Ｘ１、Ｘ２。当ｋ≥２时，滤 波 器 采 用 如 下 的 状 态方程， 式中：Ｘｋ，ｋ－１，ｋ－２和Ｘｋ－１分别表示ｋ 时刻的位置信息 估计和ｋ－１时 刻 的 位 置 信 息 最 优 估 计；ｋ，ｋ－１，ｋ－２ 为状态转移矩阵；Ｗｋ－１，ｋ－２为估计误差矩阵；ａ 为 估 计参数；Ｘｐｒｅ表示局部近似线性估计，其表达式为 对ｋ 时刻Ｘｋ 的最佳估计剩余求解过程为 式中：Ｈｋ 为观 测 转 移 矩 阵；Ｐｋ，ｋ－１在 代 表 根 据 ＰＳＤ 上一时刻的状态进行估计的误差协方差矩阵；Ｐｋ 为 预测误差的协方差矩阵；Ｑｋ 和Ｒｋ 分别为传感器状 态估计误差和隐含 于 ＰＳＤ 测量数据中观测误差的 方差矩阵；ｋｋ 为ｋ 时刻的卡尔曼增益。由于观测量 Ｚｋ 由激光三角传感器测量得出，观测噪声则隐性包 含于观测量 中，因 此，可 参 考 单 点 测 量 数 据 方 差 对 Ｒｋ 进行初始化。将两部分滤波结果 连 接 即 可 得 到 传感器的最终滤波. 综上所述，多元自适应卡尔曼滤波将单点滤波 与曲线整体估计相结合，滤波结果不完全依赖于传 感器采集数据。本文方法的合理性在于传感器量程 较小，在局部可以近似将状态估计按线性进行处理， 而结合实际测量值进行状态估计更符合曲线的真实 走向。该方法使 ＰＳＤ间隔采样点前后关联紧密，提 高了特性曲线的平滑度，为后续的曲线拟合奠定了 基础。 ３．２ 非均匀 Ｂ样条曲线拟合标定 完成数据点集的预处理工作后，采用 Ｂ样条曲 线拟合算法，通过形成节点、计算基函数、绘制曲线 的过程，形成基曲线的线性组合。 Ｂ样条曲线定义为 式中：Ｐｉ（ｉ＝０，１，…，ｎ）为控制顶点，在本实验中表 示预处理后各间隔点的位置坐标；ｋ 为 Ｂ 样条曲线的次数；Ｎｉ，ｋ（ｕ）表示通过节点矢量Ｔ＝｛ｔ０，ｔ１，…， ｔｎ＋ｋ＋１｝定义的ｋ 次规范 Ｂ样条基函数，是在ｕ 上的 ｋ 次多项式，通常称为 Ｃｏｘ－ｄｅＢｏｏｒ递归公式［２３］，其 定义为 该 递 归 公 式 表 明 欲 确 定 第ｉ 个ｋ 次 Ｂ 样 条 Ｎｉ，ｋ（ｕ），需要用到ｕｉ，ｕｉ＋１，…，ｕｉ＋ｋ＋１共ｋ＋２个节 点，曲线方程中ｎ＋１个 控 制 顶 点 Ｐｉ（ｉ＝０，１，…， ｎ），相应地有ｎ＋１个ｋ 次Ｂ样条基函数 Ｎｉ，ｋ（ｕ）与 之对应。 在进行激光位移传感器标定时，确定节点矢量 分布和曲 线 次 数 是 曲 线 拟 合 的 关 键。根 据 递 归 公 式，零次和一次的 Ｂ样条曲线分别是控制顶点和控 制多边形自身，与所取节点矢量无关，故只考虑ｋ≥ ２时节点矢量的划分。而对于给定次数的 Ｂ样条曲 线，确定节点矢量的依据只有给定的控制顶点和次 数，拟合曲线中的数据点对应的是 Ｂ样条曲线的分 段连接点而并非控制顶点，其位置尚未确定。常见 的 Ｂ样条节点矢量划分包括以下两种［２４－２６］： １）均匀 Ｂ样条曲线。节点沿参数 轴 均 匀 或 等 距分布，即 Δｔ＝ｔｉ＋１－ｔｉ（ｉ＝０，１，…，ｎ＋ｋ－１）为常 数且大于０，首尾控制 点 不 在 曲 线 之 上。均 匀 Ｂ 样 条曲线的基函数是可互换的，节点的计算公式为 式中：ｔ∈［ｔｊ，ｔｊ＋１］，ｕ＝（ｔ－ｔｊ）／（ｔｊ＋１－ｔｊ）；Ｍｐ 为 （ｐ＋１）×（ｐ＋１）的常数矩阵；［Ｑｊ－ｐ，…，Ｑｊ］表示 Ｂ 样条曲线拟合算法中的ｐ＋１个控制顶点。 ２）准均匀 Ｂ 样条曲线。两端节点 具 有 重 复 度 ｋ＋１，即ｔ０＝ｔ１＝…＝ｔｋ，ｔｎ ＝ｔｎ＋１＝…＝ｔｎ＋ｋ＋１，所 有的内节点均匀分布，具有重复度１，同时首尾节点 在曲线之上。 考虑到标定的目标数据已知，采用弦长参数化 法，将目标数据连接成的控制多边形近似看作样条 曲线的外切多边形，则曲线的分段连接点与目标数 据一一对应，然后将其展直并归一化，得到节点矢量 的参数序列。 假设激光干涉仪测量的目标数据结构 为ｚ［ｎ， １］，则各 分 段 长 度 为ｌｉ ＝ ｚｉ－ｚｉ－１ （ｉ＝１，２，…， ｎ），总边长Ｌ＝∑ ｎ ｉ＝１ ｌｉ。则将其展直并归一化后，得 Ｂ 样条曲线的节点矢量为 ４ ＰＳＤ激光位移传感器标定实验 ４．１ 标定实验方案 传感器标定的目的是确定传感器所采集的位移 数据与被测真实位移之间的变换关系，因此，需要在 使用待标定传感器测量位移的同时，确定真实位移 的大小。标定系 统 采 用 Ｒｅｎｉｓｈａｗ 公 司 的 ＸＬ 系 列 激光干涉仪，精度为０．１μｍ，用于测量被测物面 的 真实位移，并设计了一种连续反向同步标定方案，其 测量原理如图５所示。测量反射镜固定于被测物面 一侧并放置在微位移台上，与参考反射镜和干涉仪 同处在一条直线上。待标定传感器位于物面另一侧 并固定在相应位置，激光器垂直入射到物面上。试 验现场如图６所示。 由于 ＰＳＤ 非线性误差随光斑位置远离光敏面 中心而变大，因 此 以 ＰＳＤ 中 心 为 原 点，调 整 光 斑 位 置使位移传感器输出为０（光斑位于 ＰＳＤ 中心），并 将干涉仪调零，即实现标定系统的初始化。设定传 感器量程为２ｍｍ，每隔约１０μｍ 手动调节微位移台，共测量约２００次，确保位移台产生２ｍｍ 以上的 总位移量，并分别记录位移传感器和激光干涉仪在 各间隔点的测量值 Ｘ［ｎ，４０］和Ｔ［ｎ，１］，其 中ｎ 为 传感器采样点个数，构成原始数据集，图７为原始数 据示意图。 ４．２ 数据预处理分析 为了验证所提出的多元卡尔曼滤波（ＭＡＫＦ） 预处理的 效 果，本文对实际工 况下传感器在各采 样间隔点的 重 复 测 量 数 据（ＫＦ）进行了滤波处理，并与未改进的原始卡尔曼滤波进行了比较。图８ 为数据滤 波 预 处 理 结 果，图 中 散 点 为 位 移 传 感 器 初始数据。 标准卡尔曼预处理方法为各采样点的重复测量滤波结果，而 改 进 后 的 ＭＡＫＦ 处理数据结合了局 部近似线性估计。由 图８（ａ）和（ｄ）可 知，改 进 前 的 数据含有尖点而导致数据非单调变化，若直接参与 拟合则会影响拟合曲线局部不能一一对应。由图８ （ｂ）和（ｃ）可知，局部测量数据受到外部因素影响，曲 线形状发生偏移，改进前的处理结果随之发生偏移。 ＭＡＫＦ算法的局部近似线性估计抑制了曲线受噪 声影响产生 的 偏 移，使得滤波效果得到显著提升。 证明了改进后的预处理算法能够克服原始数据对滤 波结果的强束缚性. ４．３ 位移传感器标定 依据 ＭＡＫＦ预处理滤波的结果，结合标定算法 对激光位移传感器进行整体标定。标定实验分为采 用同一传感器的三次独立重复实验数据，以及不同传 感器在相同实验条件下的测量数据，数据结构包括传 感器 测 量 数 据 为 Ｘ ［ｎ，４０］和 干 涉 仪 测 量 数 据 Ｔ［ｎ，１］，其中预处理过程的输入数据为 Ｘ［ｎ，４０］，输 出数据 为 Ｏ［ｎ，１］，曲 线 拟 合 模 型 的 输 入 数 据 为 ［Ｏ［ｎ，１］；Ｔ［ｎ，１］］。分别取曲线次数ｋ 为２、３、４、５， 实验结果如表１所示。其中，ｍｓｅ表示均方误差。 由表１中一号传感器的三次独立实验数据标定 结果分析可知，在同等曲线次数条件下，标定结果精 度几乎相同，证明该标定方法对同一传感器进行标定时具有优异的稳定性。对于相同实验环境下的不 同传感器，标定结果显现出微小差异，可能来源于传 感器除 ＰＳＤ其他部分的不确定性因素，但标定精度变化十分微小，可忽略不计。当选取不同曲线次数 进行标定时，次数的增大并不能有效减小标定均方 误差，而数据标定过程耗时增加约一倍，可见高次 Ｂ 样条曲线会显著地增大模型的复杂度。综合实验数 据可知，ｋ＝２时标定 模 型 具 有 较 好 的 性 能，此 时 的 最大平均测量误差μ＝０．０１１９ｍｍ。 表２为二次非均匀 Ｂ样条（ＮＵＢＳ）同均匀 Ｂ样 条（ＵＢＳ）、准均匀 Ｂ 样 条（ＱＵＢＳ）曲 线 拟 合 方 法 的 标定结果对比。分析表中数据可知，非均匀节点矢 量划分的拟合结果总体上更为理想，证明了弦长参 数化法进行节点矢量划分的有效性。 ４．４ 位移传感器标定方法的性能对比 为了检验本文所提标定方案的性能提升，采用 常见的４种标定方法进行对比实验，包括传统数据 处理算法与机器学习类算法。其中，传统数据处理 算法包括小波分解重构滤波（ＷＦ）、ＩＩＲ 数字低通滤 波（ＩＩＲ）；机 器 学 习 算 法 包 括 支 持 向 量 回 归 机（ＳＶＭ）、ＢＰ神经网络算法（ＢＰ）。以下给出了 各 对 比实验的运行规范和参数配置。 １）ＳＶＭ。根据传感器采集数据总组数（约２００ 组），选取前１５０组作为模型的训练，其余为测试数 据。核函数选用径向基函数，经过循环遍历调参，确 定惩罚系数为２．２，损失函数ｐ 的值为０．０１。 ２）ＢＰ。训练集和测试集的选取与 ＳＶＭ 相同。 根据经验公式确定隐层神经元个数为１２，隐层传递 函数为默认的“ｔａｎｓｉｇ”，输出层传递函数为“ｐｕｒｅｌｉｎ”， ＢＰ训练函数选择“ｔｒａｉｎｂｒ”（贝叶斯正则化算法）。 ３）ＷＦ。首先采用平均值法进行数据预处理。 利用小波“ｄｂ５”进行７层分 解，采 用 阈 值 为０．０１的 软阈值函数对小波分解后的数据进行处理，最后采 用最小二乘法进行数据拟合。 ４）ＩＩＲ。预处 理 和 数 据 拟 合 方 法 与 ＷＦ 相 同。 通带截止频率为２００π，阻带截止频率为２０００π，通带 衰减不大于１ｄＢ，阻带衰减不小于８ｄＢ。 分别采用以上方法进行位移传感器数据处理， 并与本文方法结果进行对比，表３为对比情况。由 对比数据可知，ＢＰ神经网络算法同本文方法在结果 稳定性和精度上相近，优于其他种类算法。但神经 网络构建的耗时明显多于其他算法，这与反向传播 训练函数的选择有着 密 切 的 关 系。因 此，非 均 匀 Ｂ 样条拟合方法的结果更为理想。 ５ 结 论 本文针对基于 ＰＳＤ 的激光三角位移传感器 的 精密标定问题，提出了一种多元自适应卡尔曼滤波 与非 均 匀 Ｂ 样 条 曲 线 拟 合 相 结 合 的 标 定 方 法。实 际工况下进行标定实验的结果显示：多元自适应卡 尔曼预处理算法减小了初始数据对滤波结果的依 赖，其数据处理效果优于经典卡尔曼滤波方法；在进 行曲线拟合标定时，二次 Ｂ样条曲线的拟合效果最 优，标 定 定 位 误 差 为 ０．７％，平 均 测 量 误 差 可 达 ０．０１２ｍｍ，标定均方误差约为２．１２×１０－５ ｍｍ２，所 提标定方法能够实现位移传感器的精密标定；通过 对比不同节点 矢 量 分 配 下 的 Ｂ 样 条 拟 合 标 定 结 果 可知，非均匀 Ｂ样条标定效果更为理想。 |
